# Matematyka — zadanie 15

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-marzec-2013/zad/15
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · marzec 2013 (podstawowa)
- rok: 2013
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Stereometria

## Treść

Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa \(6\), a kąt nachylenia jego przekątnej do płaszczyzny podstawy jest równy \(60^\circ \). Długość tej przekątnej jest równa

## Rozwiązanie — sprawnamatura

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-marzec-2013-15.png]

Oznaczmy:
- \(a\) – długość krawędzi podstawy
- \(H = 6\) – wysokość graniastosłupa
- \(d\) – długość przekątnej graniastosłupa
- \(\alpha = 60°\) – kąt nachylenia przekątnej do płaszczyzny podstawy

**Krok 2: Analiza geometryczna**

Przekątna graniastosłupa łączy dwa przeciwległe wierzchołki (jeden w dolnej, drugi w górnej podstawie). Rzut tej przekątnej na płaszczyznę podstawy jest przekątną kwadratu.

**Krok 3: Przekątna podstawy**

Dla kwadratu o boku \(a\), długość przekątnej wynosi:
$$d_{\text{podst}} = a\sqrt{2}$$

**Krok 4: Związek trygonometryczny**

Przekątna graniastosłupa, jej rzut na podstawę i wysokość tworzą trójkąt prostokątny, gdzie:
- przyprostokątna pionowa: \(H = 6\)
- przyprostokątna pozioma: \(d_{\text{podst}} = a\sqrt{2}\)
- przeciwprostokątna: \(d\)

Kąt \(60°\) jest między przekątną \(d\) a podstawą, więc:
$$\tan(60°) = \frac{H}{d_{\text{podst}}}$$

**Krok 5: Obliczenie przekątnej podstawy**

$$\sqrt{3} = \frac{6}{d_{\text{podst}}}$$

$$d_{\text{podst}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$$

**Krok 6: Obliczenie przekątnej graniastosłupa**

Z twierdzenia Pitagorasa:
$$d^2 = H^2 + d_{\text{podst}}^2$$

$$d^2 = 6^2 + (2\sqrt{3})^2 = 36 + 12 = 48$$

$$d = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$$

**Odpowiedź: D**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** D

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-marzec-2013/zad/15)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-marzec-2013%2Fzad%2F15)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątne, w których suma promienia okręgu opisanego na podstawie i długości krawędzi bocznej j
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/zad/10) — Zadanie 10. (7 pkt) W ostrosłupie czworokątnym prawidłowym wysokości przeciwległych ścian bocznych poprowadzone z wierzchołka ostrosłupa mają długości h i tworz
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2004-styczen-probna-podstawowa/zad/11) — Zadanie 11. (7 pkt) Wyznacz miarę kąta między ścianą boczną i płaszczyzną podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego wiedząc, że pole jego podstawy jest ró
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/10) — Zadanie 10. (0-6) Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆 o podstawie 𝐴𝐵𝐶𝐷 i polu powierzchni bocznej równym 𝑃. Kąt między wysokościami sąsiednich ścia

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_