# Matematyka — zadanie 19

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-marzec-2013/zad/19
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · marzec 2013 (podstawowa)
- rok: 2013
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Geometria analityczna

## Treść

Punkt \(S\) jest środkiem wysokości \(CD\) trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|=5\) oraz \(|CD|=4\) (zobacz rysunek). Odległość punktu \(S\) od ramienia tego trójkąta jest równa

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Rozwiązuje się zadanie krok po kroku.

## Analiza sytuacji

Trójkąt \(ABC\) jest równoramienny z \(|AC| = |BC| = 5\). Wysokość \(CD\) opuszczona na podstawę \(AB\) ma długość \(|CD| = 4\). Punkt \(S\) jest środkiem odcinka \(CD\), więc \(|CS| = |SD| = 2\).

## Układ współrzędnych

Umieszczam trójkąt w układzie współrzędnych:
- Punkt \(D\) (podstawa wysokości) w początku układu: \(D = (0, 0)\)
- Punkt \(C\) (wierzchołek) na osi \(y\): \(C = (0, 4)\)
- Podstawa \(AB\) leży na osi \(x\)

## Znajdowanie punktu \(A\)

Ponieważ \(CD\) jest wysokością, punkt \(A\) leży na osi \(x\): \(A = (a, 0)\) dla pewnego \(a > 0\).

Z warunku \(|AC| = 5\):

$$|AC|^2 = a^2 + 4^2 = 25$$

$$a^2 = 25 - 16 = 9$$

$$a = 3$$

Zatem \(A = (3, 0)\).

Z symetrii trójkąta równoramiennego: \(B = (-3, 0)\).

## Położenie punktu \(S\)

Punkt \(S\) jest środkiem \(CD\):

$$S = \left(0, \frac{0 + 4}{2}\right) = (0, 2)$$

## Odległość od ramienia \(AC\)

Wyznacza się równanie prostej \(AC\) przechodzącej przez \(A = (3, 0)\) i \(C = (0, 4)\).

Postać odcinkowa:
$$\frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 1$$

Postać ogólna:
$$4x + 3y - 12 = 0$$

## Obliczenie odległości

Odległość punktu \(S = (0, 2)\) od prostej \(4x + 3y - 12 = 0\):

$$d = \frac{|4 \cdot 0 + 3 \cdot 2 - 12|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{|0 + 6 - 12|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{|-6|}{\sqrt{25}} = \frac{6}{5}$$

## Weryfikacja

Z symetrii trójkąta, odległość od ramienia \(BC\) będzie taka sama.

**Odpowiedź: A**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** A

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-marzec-2013/zad/19)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-marzec-2013%2Fzad%2F19)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Okrąg 𝑜1 o środku w punkcie 𝑆1 jest określony równaniem (𝑥-6)2 + (𝑦+ 1)2 = 16. Okrąg 𝑜2 ma środek w punkcie 𝑆2 takim, że 𝑆1𝑆2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [-4, 4
- [Zadanie 13](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-rozszerzona-czerwiec-2026/zad/13) — W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne \(ABC\), w których \(C = (0, 0)\), wierzchołek \(B\) leży na dodatnie
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest równoległobok 𝐴𝐵𝐶𝐷 o wierzchołkach 𝐴= (-8, -1) i 𝐷= (-13, 9) oraz środku symetrii 𝑀= (
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) prosta o równaniu 3𝑥+ 𝑦+ 2 = 0 przecina parabolę o równaniu 𝑦= 𝑥2 -2𝑥-8 w punktach 𝐴 oraz 𝐵, któ

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_