# Matematyka — zadanie 22

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-marzec-2013/zad/22
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · marzec 2013 (podstawowa)
- rok: 2013
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Geometria analityczna

## Treść

Punkty \(A = (-3, 4)\) i \(C = (1,3)\) są wierzchołkami kwadratu \(ABCD\). Wyznacz równanie prostej zawierającej przekątną \(BD\) tego kwadratu.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-marzec-2013-22.png]

Mamy kwadrat ABCD, gdzie znamy dwa wierzchołki: \(A = (-3, 4)\) i \(C = (1, 3)\).

**Krok 2: Ustalenie, które wierzchołki mamy**

Ponieważ zadanie mówi o przekątnej BD, a znamy punkty A i C, to A i C są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu (leżą na jednej przekątnej AC).

**Krok 3: Środek kwadratu**

Przekątne kwadratu przecinają się w jego środku. Znajdźmy środek S przekątnej AC:

$$S = \left(\frac{-3+1}{2}, \frac{4+3}{2}\right) = \left(-1, \frac{7}{2}\right)$$

**Krok 4: Wektor przekątnej AC**

$$\overrightarrow{AC} = [1-(-3), 3-4] = [4, -1]$$

**Krok 5: Kierunek przekątnej BD**

W kwadracie przekątne są prostopadłe. Jeśli \(\overrightarrow{AC} = [4, -1]\), to wektor prostopadły otrzymamy zamieniając współrzędne i zmieniając znak jednej z nich:

$$\overrightarrow{BD} = [1, 4]$$

(Sprawdzenie: \(4 \cdot 1 + (-1) \cdot 4 = 4 - 4 = 0\) ✓)

**Krok 6: Równanie prostej BD**

Prosta BD przechodzi przez środek \(S = \left(-1, \frac{7}{2}\right)\) i ma kierunek \([1, 4]\).

Współczynnik kierunkowy: \(a = \frac{4}{1} = 4\)

Równanie prostej w postaci kierunkowej:

$$y - \frac{7}{2} = 4(x - (-1))$$

$$y - \frac{7}{2} = 4(x + 1)$$

$$y - \frac{7}{2} = 4x + 4$$

$$y = 4x + 4 + \frac{7}{2}$$

$$y = 4x + \frac{8}{2} + \frac{7}{2}$$

$$y = 4x + \frac{15}{2}$$

**Odpowiedź:** Równanie prostej zawierającej przekątną BD to \(y = 4x + \frac{15}{2}\)

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(y=4x+\frac{15}{2}\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-marzec-2013/zad/22)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-marzec-2013%2Fzad%2F22)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Okrąg 𝑜1 o środku w punkcie 𝑆1 jest określony równaniem (𝑥-6)2 + (𝑦+ 1)2 = 16. Okrąg 𝑜2 ma środek w punkcie 𝑆2 takim, że 𝑆1𝑆2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [-4, 4
- [Zadanie 13](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-rozszerzona-czerwiec-2026/zad/13) — W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne \(ABC\), w których \(C = (0, 0)\), wierzchołek \(B\) leży na dodatnie
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest równoległobok 𝐴𝐵𝐶𝐷 o wierzchołkach 𝐴= (-8, -1) i 𝐷= (-13, 9) oraz środku symetrii 𝑀= (
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) prosta o równaniu 3𝑥+ 𝑦+ 2 = 0 przecina parabolę o równaniu 𝑦= 𝑥2 -2𝑥-8 w punktach 𝐴 oraz 𝐵, któ

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_