# Matematyka — zadanie 23

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-marzec-2013/zad/23
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · marzec 2013 (podstawowa)
- rok: 2013
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Trygonometria

## Treść

Kąty ostre \(\alpha \) i \(\beta \) trójkąta prostokątnego spełniają warunek \(\sin^{2} \alpha +\sin^{2}\beta +\operatorname{tg}^{2}\alpha =4\) . Wyznacz miarę kąta \(\alpha \).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-marzec-2013-23.png]

Skoro \(\alpha\) i \(\beta\) są kątami ostrymi trójkąta prostokątnego, to:

$$\alpha + \beta = 90°$$

Zatem \(\beta = 90° - \alpha\), co oznacza:

$$\sin \beta = \sin(90° - \alpha) = \cos \alpha$$

Podstawia się do danego równania:

$$\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \operatorname{tg}^2 \alpha = 4$$

$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \operatorname{tg}^2 \alpha = 4$$

Korzysta się z jedynki trygonometrycznej \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\):

$$1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = 4$$

$$\operatorname{tg}^2 \alpha = 3$$

$$\operatorname{tg} \alpha = \sqrt{3}$$

(biorę wartość dodatnią, bo \(\alpha\) jest kątem ostrym)

Z tablicy wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów specjalnych:

$$\operatorname{tg} 60° = \sqrt{3}$$

**Sprawdzenie:** 

Dla \(\alpha = 60°\) mamy \(\beta = 30°\):
- \(\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}\), więc \(\sin^2 60° = \frac{3}{4}\)
- \(\sin 30° = \frac{1}{2}\), więc \(\sin^2 30° = \frac{1}{4}\)
- \(\operatorname{tg}^2 60° = 3\)

Suma: \(\frac{3}{4} + \frac{1}{4} + 3 = 1 + 3 = 4\) ✓

**Odpowiedź:** \(\alpha = 60°\)

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(\alpha =60^\circ \)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-marzec-2013/zad/23)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-marzec-2013%2Fzad%2F23)

## Podobne zadania

- [Zadanie 17](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/17) — Zadanie 17. (8 pkt) Rozwiąż równanie: x x x cos 4 ctg 2 sin 2 dla π 2 ,0 ∈ x . Ze zbioru rozwiązań tego równania losujemy bez zwracania dwie liczby. Oblicz praw
- [Zadanie 16](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/16) — Zadanie 16. (7 pkt) Dane jest równanie postaci ( ) ( ) cos 1 cos 1 0 ⋅ x x p , gdzie R p ∈ jest parametrem. a) Dla 1 p wypisz wszystkie rozwiązania tego równani
- [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/9) — Zadanie 9. (0-5) Rozwiąż równanie 𝟑𝐜𝐨𝐬𝟐𝒙+ √𝟑𝐬𝐢𝐧(𝟐𝒙) -𝟑𝐬𝐢𝐧𝟐𝒙= 𝟎 w przedziale [-𝝅, 𝝅]. Zapisz obliczenia. 9. 0-1- 2-3- 4-5 MMAP-R0_100 MMAP-R0_100 Rozwiąż równani
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-5) Rozwiąż równanie 3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 w przedziale 〈-𝜋, 𝜋〉. EMAP-R0_100 Wypełnia egzaminator Nr zadania 12. Maks. liczba pkt 5 Uzyskan

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_