# Matematyka — zadanie 24

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-marzec-2013/zad/24
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · marzec 2013 (podstawowa)
- rok: 2013
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Równania i nierówności

## Treść

Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x\) i \(y\) prawdziwa jest nierówność \[x^2+xy+y^2\ge 2x+2y-4\]

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Przekształca się nierówność do postaci, w której łatwiej będzie udowodnić jej prawdziwość.

**Krok 1: Przeniesienie wszystkich wyrazów na lewą stronę**

$$x^2 + xy + y^2 \ge 2x + 2y - 4$$

$$x^2 + xy + y^2 - 2x - 2y + 4 \ge 0$$

Trzeba udowodnić, że lewa strona jest zawsze nieujemna.

**Krok 2: Grupowanie wyrazów**

Przekształca się lewą stronę, wykorzystując metodę dopełniania do kwadratu:

$$x^2 - 2x + xy + y^2 - 2y + 4 \ge 0$$

Grupuję wyrazy zawierające \(x\):

$$x^2 + xy - 2x + y^2 - 2y + 4 \ge 0$$

**Krok 3: Traktowanie jako funkcja kwadratowa względem \(x\)**

Traktuję to jako funkcję kwadratową \(f(x) = x^2 + x(y-2) + (y^2 - 2y + 4)\).

Funkcja kwadratowa z dodatnim współczynnikiem przy \(x^2\) jest nieujemna dla wszystkich \(x\) wtedy i tylko wtedy, gdy jej wyróżnik \(\Delta \le 0\).

**Krok 4: Obliczenie wyróżnika**

$$\Delta = (y-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (y^2 - 2y + 4)$$

$$\Delta = y^2 - 4y + 4 - 4y^2 + 8y - 16$$

$$\Delta = -3y^2 + 4y - 12$$

**Krok 5: Sprawdzenie znaku wyróżnika**

Trzeba pokazać, że \(-3y^2 + 4y - 12 \le 0\) dla wszystkich \(y\).

$$-3y^2 + 4y - 12 \le 0$$

$$3y^2 - 4y + 12 \ge 0$$

Oblicza się wyróżnik tego wyrażenia:

$$\Delta' = 16 - 4 \cdot 3 \cdot 12 = 16 - 144 = -128 < 0$$

Ponieważ współczynnik przy \(y^2\) jest dodatni (równy 3) i \(\Delta' < 0\), to wyrażenie \(3y^2 - 4y + 12\) jest zawsze dodatnie dla wszystkich \(y \in \mathbb{R}\).

**Krok 6: Wnioskowanie**

Skoro \(\Delta = -3y^2 + 4y - 12 < 0\) dla wszystkich \(y\), to funkcja \(f(x) = x^2 + x(y-2) + (y^2 - 2y + 4)\) jest zawsze dodatnia dla wszystkich \(x\) i \(y\).

Zatem:
$$x^2 + xy + y^2 - 2x - 2y + 4 \ge 0$$

co oznacza, że:
$$x^2 + xy + y^2 \ge 2x + 2y - 4$$

dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x\) i \(y\). **□**

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-marzec-2013/zad/24)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-marzec-2013%2Fzad%2F24)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2005-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (10 pkt) Dane jest równanie: ( ) 0 4 1 5 2 2 m m x m x Zbadaj, dla jakich wartości parametru m stosunek sumy pierwiastków rzeczywistych równania do 
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/18) — Zadanie 18. (10 pkt) Rozwiąż nierówność ( ) 9 ,0 2 8 1 4 1 2 1 > x x x x , gdzie lewa strona tej nierówności jest sumą nieskończonego ciągu geometrycznego. 9 Ar
- [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-podstawowa/zad/9) — Dane są zbiory liczb rzeczywistych: \(A = \left\{ x : \frac{3}{x} \leq 1 \right\}\) i \(B = \left\{ x : |x+1| < 3 \right\}\). a) Zaznacz te zbiory na osi liczbo
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-6) Wyznacz wszystkie wartości parametru 𝒎, dla których równanie (𝟑-𝒎) ⋅𝒙𝟐+ (𝒎+ 𝟏) ⋅𝒙-(𝒎+ 𝟏)𝟐= 𝟎 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste 𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 speł

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_