# Matematyka — zadanie 27

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-marzec-2013/zad/27
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · marzec 2013 (podstawowa)
- rok: 2013
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 4
- działy: Planimetria

## Treść

Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest równy \(2\sqrt{5}\). Jedna z przyprostokątnych tego trójkąta jest o \(4\) dłuższa od drugiej przyprostokątnej. Oblicz wysokość tego trójkąta opuszczoną na przeciwprostokątną.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-marzec-2013-27.png]

Oznaczmy przyprostokątne trójkąta jako \(a\) i \(b\), gdzie \(b = a + 4\).

## Krok 2: Znajdź przeciwprostokątną

W trójkącie prostokątnym promień okręgu opisanego jest równy połowie przeciwprostokątnej:

$$R = \frac{c}{2}$$

gdzie \(c\) to przeciwprostokątna.

Mamy \(R = 2\sqrt{5}\), więc:

$$c = 2R = 2 \cdot 2\sqrt{5} = 4\sqrt{5}$$

## Krok 3: Zastosuj twierdzenie Pitagorasa

Z twierdzenia Pitagorasa:

$$a^2 + b^2 = c^2$$

Podstawiamy \(b = a + 4\) i \(c = 4\sqrt{5}\):

$$a^2 + (a+4)^2 = (4\sqrt{5})^2$$

$$a^2 + a^2 + 8a + 16 = 80$$

$$2a^2 + 8a + 16 = 80$$

$$2a^2 + 8a - 64 = 0$$

$$a^2 + 4a - 32 = 0$$

## Krok 4: Rozwiąż równanie kwadratowe

$$\Delta = 16 + 128 = 144$$

$$a = \frac{-4 \pm 12}{2}$$

Ponieważ \(a > 0\):

$$a = \frac{-4 + 12}{2} = 4$$

Zatem:
$$b = a + 4 = 8$$

## Krok 5: Oblicz wysokość opuszczoną na przeciwprostokątną

Pole trójkąta można obliczyć na dwa sposoby:

$$P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h$$

gdzie \(h\) to wysokość opuszczona na przeciwprostokątną.

$$\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 8 = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{5} \cdot h$$

$$16 = 2\sqrt{5} \cdot h$$

$$h = \frac{16}{2\sqrt{5}} = \frac{8}{\sqrt{5}}$$

## Krok 6: Zracjonalizuj mianownik

$$h = \frac{8}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{8\sqrt{5}}{5}$$

**Odpowiedź:** \(h = \frac{8\sqrt{5}}{5}\)

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(h=\frac{8\sqrt{5}}{5}\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-marzec-2013/zad/27)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-marzec-2013%2Fzad%2F27)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (10 pkt) W trójkącie jeden z kątów ma miarę ° 120 . Długości boków tego trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, którego suma wynosi 30.
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-podstawowa/zad/10) — W trapezie opisanym na okręgu kąty przy dłuższej podstawie mają miary \(60^{\circ}\) i \(30^{\circ}\), a długość wysokości tego trapezu jest równa 6. Sporządź o
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/18) — Zadanie 18. (8 pkt) Oblicz miary kątów dowolnego czworokąta wpisanego w okrąg o promieniu 2 5 R , wiedząc ponadto, że jedna z przekątnych tego czworokąta ma dłu
- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w których każda z przekątnych ma długość 10. Niech 𝑥 oznacza długość odcinka łączącego środki ra

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_