# Matematyka — zadanie 28

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-marzec-2013/zad/28
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · marzec 2013 (podstawowa)
- rok: 2013
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 4
- działy: Prawdopodobieństwo

## Treść

W pojemniku jest osiem kul ponumerowanych od \(1\) do \(8\), przy czym kule z numerami, których reszta z dzielenia przez \(3\) jest równa \(1\) są białe, a pozostałe kule są czarne. Losujemy z pojemnika jednocześnie dwie kule. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy kule różnych kolorów, których iloczyn numerów będzie większy od \(6\) i nie większy od \(35\).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

## Krok 1: Określenie kolorów kul

Kule białe to te, których numer przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1:
- Numery: 1, 4, 7
- **Kule białe: {1, 4, 7}** (3 kule)

Kule czarne to pozostałe:
- Numery: 2, 3, 5, 6, 8
- **Kule czarne: {2, 3, 5, 6, 8}** (5 kul)

## Krok 2: Przestrzeń zdarzeń elementarnych

Losujemy jednocześnie 2 kule z 8:
$$|\Omega| = \binom{8}{2} = \frac{8 \cdot 7}{2} = 28$$

## Krok 3: Warunki zdarzenia A

Szukamy par spełniających:
1. Kule są różnych kolorów (jedna biała, jedna czarna)
2. Iloczyn numerów: \(6 < ab \leq 35\)

## Krok 4: Wszystkie możliwe pary różnych kolorów

Musimy wybrać jedną kulę białą i jedną czarną:
$$\text{Liczba takich par} = 3 \cdot 5 = 15$$

## Krok 5: Sprawdzenie warunku na iloczyn

Sprawdzamy każdą parę (biała, czarna):

**Biała kula nr 1:**
- \(1 \cdot 2 = 2\) ❌ (nie większe od 6)
- \(1 \cdot 3 = 3\) ❌
- \(1 \cdot 5 = 5\) ❌
- \(1 \cdot 6 = 6\) ❌
- \(1 \cdot 8 = 8\) ✓

**Biała kula nr 4:**
- \(4 \cdot 2 = 8\) ✓
- \(4 \cdot 3 = 12\) ✓
- \(4 \cdot 5 = 20\) ✓
- \(4 \cdot 6 = 24\) ✓
- \(4 \cdot 8 = 32\) ✓

**Biała kula nr 7:**
- \(7 \cdot 2 = 14\) ✓
- \(7 \cdot 3 = 21\) ✓
- \(7 \cdot 5 = 35\) ✓
- \(7 \cdot 6 = 42\) ❌ (większe od 35)
- \(7 \cdot 8 = 56\) ❌

## Krok 6: Zliczenie par spełniających warunki

Pary spełniające warunek \(6 < ab \leq 35\):
- Z kulą białą 1: 1 para
- Z kulą białą 4: 5 par
- Z kulą białą 7: 3 pary

$$|A| = 1 + 5 + 3 = 9$$

## Krok 7: Obliczenie prawdopodobieństwa

$$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{9}{28}$$

**Odpowiedź: \(P(A) = \frac{9}{28}\)**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(P(A)=\frac{9}{28}\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-marzec-2013/zad/28)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-marzec-2013%2Fzad%2F28)

## Podobne zadania

- [Zadanie 96](https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-pp-treningowe/zad/96) — Z pojemnika, w którym są dwa losy wygrywające i trzy losy puste, losujemy dwa razy po jednym losie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo, że otrzymamy co naj
- [Zadanie 6](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-rozszerzona-czerwiec-2026/zad/6) — Chleb sprzedawany w pewnym supermarkecie pochodzi z trzech piekarni: \(\mathcal{P}_1\), \(\mathcal{P}_2\), \(\mathcal{P}_3\). Stosunek liczby bochenków chleba d
- [Zadanie 76](https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2025-pp/zad/76) — Spośród wszystkich czterocyfrowych całkowitych liczb dodatnich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana lic
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-4) W pudełku umieszczono 𝑛 kul (𝑛≥3) wśród których dokładnie 2 kule są czarne, a pozostałe kule są białe. Z tego pudełka losujemy jedną kulę i od

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_