# Matematyka — zadanie 29

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-marzec-2013/zad/29
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · marzec 2013 (podstawowa)
- rok: 2013
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 5
- działy: Równania i nierówności

## Treść

Do zbiornika można doprowadzić wodę dwiema rurami. Czas napełniania zbiornika tylko pierwszą rurą jest o \(5\) godzin i \(30\) minut krótszy od czasu napełniania tego zbiornika tylko drugą rurą, natomiast \(15\) godzin trwa napełnienie tego zbiornika obiema rurami jednocześnie. Oblicz, w ciągu ilu godzin pusty zbiornik zostanie napełniony, jeśli woda będzie doprowadzana tylko pierwszą rurą.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Oznaczmy przez \(t\) czas (w godzinach) napełniania zbiornika pierwszą rurą.

## Analiza danych

- Pierwsza rura napełnia zbiornik w czasie: \(t\) godzin
- Druga rura napełnia zbiornik w czasie: \(t + 5{,}5\) godzin (bo o 5h 30min = 5,5h dłużej)
- Obie rury razem napełniają zbiornik w czasie: \(15\) godzin

## Wydajności rur

Przyjmijmy pojemność zbiornika za \(1\) (całość).

Wydajność to część zbiornika napełniana w ciągu 1 godziny:
- Wydajność pierwszej rury: \(\frac{1}{t}\) zbiornika na godzinę
- Wydajność drugiej rury: \(\frac{1}{t+5{,}5}\) zbiornika na godzinę
- Wydajność obu rur razem: \(\frac{1}{15}\) zbiornika na godzinę

## Równanie

Gdy obie rury pracują jednocześnie, ich wydajności się sumują:

$$\frac{1}{t} + \frac{1}{t+5{,}5} = \frac{1}{15}$$

## Rozwiązanie równania

Mnożymy obie strony przez \(15t(t+5{,}5)\):

$$15(t+5{,}5) + 15t = t(t+5{,}5)$$

$$15t + 82{,}5 + 15t = t^2 + 5{,}5t$$

$$30t + 82{,}5 = t^2 + 5{,}5t$$

$$0 = t^2 + 5{,}5t - 30t - 82{,}5$$

$$t^2 - 24{,}5t - 82{,}5 = 0$$

Mnożymy przez 2, aby pozbyć się ułamków dziesiętnych:

$$2t^2 - 49t - 165 = 0$$

Korzystamy ze wzoru na deltę:

$$\Delta = (-49)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-165) = 2401 + 1320 = 3721 = 61^2$$

$$t = \frac{49 \pm 61}{4}$$

Dwa rozwiązania:
- \(t = \frac{49 + 61}{4} = \frac{110}{4} = 27{,}5\)
- \(t = \frac{49 - 61}{4} = \frac{-12}{4} = -3\) (odrzucamy jako ujemne)

## Sprawdzenie

Dla \(t = 27{,}5\):
- Pierwsza rura: \(\frac{1}{27{,}5}\) zbiornika/h
- Druga rura: \(\frac{1}{33}\) zbiornika/h
- Razem: \(\frac{1}{27{,}5} + \frac{1}{33} = \frac{2}{55} + \frac{1}{33} = \frac{6}{165} + \frac{5}{165} = \frac{11}{165} = \frac{1}{15}\) ✓

**Odpowiedź: Zbiornik zostanie napełniony pierwszą rurą w ciągu \(27{,}5\) godziny.**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(27{,}5\) godziny

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-marzec-2013/zad/29)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-marzec-2013%2Fzad%2F29)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2005-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (10 pkt) Dane jest równanie: ( ) 0 4 1 5 2 2 m m x m x Zbadaj, dla jakich wartości parametru m stosunek sumy pierwiastków rzeczywistych równania do 
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/18) — Zadanie 18. (10 pkt) Rozwiąż nierówność ( ) 9 ,0 2 8 1 4 1 2 1 > x x x x , gdzie lewa strona tej nierówności jest sumą nieskończonego ciągu geometrycznego. 9 Ar
- [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-podstawowa/zad/9) — Dane są zbiory liczb rzeczywistych: \(A = \left\{ x : \frac{3}{x} \leq 1 \right\}\) i \(B = \left\{ x : |x+1| < 3 \right\}\). a) Zaznacz te zbiory na osi liczbo
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-6) Wyznacz wszystkie wartości parametru 𝒎, dla których równanie (𝟑-𝒎) ⋅𝒙𝟐+ (𝒎+ 𝟏) ⋅𝒙-(𝒎+ 𝟏)𝟐= 𝟎 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste 𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 speł

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_