# Matematyka — zadanie 4

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-marzec-2013/zad/4
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · marzec 2013 (podstawowa)
- rok: 2013
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Ciągi

## Treść

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\) suma trzydziestu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa \(1245\) oraz \(a_1=-2\). Wtedy

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Dane są informacje o ciągu arytmetycznym \((a_n)\):
- \(S_{30} = 1245\) (suma 30 początkowych wyrazów)
- \(a_1 = -2\)

Szukamy wartości \(a_{30}\).

## Krok 1: Wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

Suma \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wyraża się wzorem:

$$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$

## Krok 2: Podstawienie danych do wzoru

Dla \(n = 30\):

$$S_{30} = \frac{30(a_1 + a_{30})}{2}$$

Podstawiamy znane wartości:

$$1245 = \frac{30(-2 + a_{30})}{2}$$

## Krok 3: Rozwiązanie równania

Upraszczamy:

$$1245 = 15(-2 + a_{30})$$

$$1245 = -30 + 15a_{30}$$

Dodajemy 30 do obu stron:

$$1275 = 15a_{30}$$

Dzielimy przez 15:

$$a_{30} = \frac{1275}{15} = 85$$

## Sprawdzenie

Możemy sprawdzić wynik obliczając różnicę ciągu:
- \(a_{30} = a_1 + 29r\), więc \(85 = -2 + 29r\), skąd \(r = 3\)
- Suma: \(S_{30} = \frac{30(-2 + 85)}{2} = \frac{30 \cdot 83}{2} = 15 \cdot 83 = 1245\) ✓

**Odpowiedź: B**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** B

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-marzec-2013/zad/4)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-marzec-2013%2Fzad%2F4)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (7 pkt) Nieskończony ciąg geometryczny ( ) n a jest zdefiniowany wzorem rekurencyjnym: ), 2 ( log ,2 2 1 1 ⋅ k a a a n n dla każdej liczby naturalne
- [Zadanie 20](https://matura.lol/question/matematyka-2004-styczen-probna-rozszerzona/zad/20) — Zadanie 20. (7 pkt) Różnica ciągu arytmetycznego (an) jest liczbą mniejszą od 1. Wyznacz najmniejszą wartość wyrażenia 50 49 1 a a a ⋅ wiedząc, że 1 51 = a
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-6) Trzywyrazowy ciąg ( ) , , a b c o wyrazach dodatnich jest arytmetyczny, natomiast ciąg 1 2 1 , , 3 2 2 a b a b c       jest geometryczny
- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/4) — Zadanie 4. (6 pkt) Liczby a, b, c są - odpowiednio - pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg ( ) 2, , 2 1 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_