# Matematyka — zadanie 5

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-marzec-2013/zad/5
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · marzec 2013 (podstawowa)
- rok: 2013
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Planimetria

## Treść

Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym jest równy \( \frac{16\sqrt{3}}{3} \). Obwód tego trójkąta jest równy

## Rozwiązanie — sprawnamatura

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-marzec-2013-05.png]

Oznaczmy długość boku trójkąta równobocznego przez \(a\).

**Krok 2: Wzór na promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym**

Dla trójkąta równobocznego o boku \(a\) promień okręgu opisanego wynosi:

$$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$$

Można to wyprowadzić z ogólnego wzoru \(R = \frac{a}{2\sin\alpha}\), gdzie dla trójkąta równobocznego \(\alpha = 60°\), więc:

$$R = \frac{a}{2\sin 60°} = \frac{a}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{a}{\sqrt{3}}$$

**Krok 3: Podstawienie danych z zadania**

Z treści zadania wiemy, że:

$$R = \frac{16\sqrt{3}}{3}$$

Podstawiamy do wzoru:

$$\frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{3}}{3}$$

**Krok 4: Wyznaczenie długości boku**

Mnożymy obie strony przez \(\sqrt{3}\):

$$a = \frac{16\sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{3}$$

$$a = \frac{16\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{3}$$

$$a = \frac{16 \cdot 3}{3}$$

$$a = 16$$

**Krok 5: Obliczenie obwodu**

Obwód trójkąta równobocznego:

$$Obw = 3a = 3 \cdot 16 = 48$$

**Odpowiedź: C**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** C

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-marzec-2013/zad/5)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-marzec-2013%2Fzad%2F5)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (10 pkt) W trójkącie jeden z kątów ma miarę ° 120 . Długości boków tego trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, którego suma wynosi 30.
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-podstawowa/zad/10) — W trapezie opisanym na okręgu kąty przy dłuższej podstawie mają miary \(60^{\circ}\) i \(30^{\circ}\), a długość wysokości tego trapezu jest równa 6. Sporządź o
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/18) — Zadanie 18. (8 pkt) Oblicz miary kątów dowolnego czworokąta wpisanego w okrąg o promieniu 2 5 R , wiedząc ponadto, że jedna z przekątnych tego czworokąta ma dłu
- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w których każda z przekątnych ma długość 10. Niech 𝑥 oznacza długość odcinka łączącego środki ra

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_