# Matematyka — zadanie 16

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2011/zad/16
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · listopad 2011 (podstawowa)
- rok: 2011
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Trygonometria

## Treść

Kąt \(\alpha \) jest ostry oraz \(\sin \alpha =\frac{2}{5}\). Wówczas

## Rozwiązanie — sprawnamatura

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2011-16.png]

Dane: kąt \(\alpha\) jest ostry, \(\sin \alpha = \frac{2}{5}\)

**Krok 2: Obliczenie \(\cos \alpha\)**

Z tożsamości trygonometrycznej:
$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$

Podstawiamy:
$$\left(\frac{2}{5}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1$$

$$\frac{4}{25} + \cos^2 \alpha = 1$$

$$\cos^2 \alpha = 1 - \frac{4}{25} = \frac{25-4}{25} = \frac{21}{25}$$

Ponieważ \(\alpha\) jest kątem ostrym (czyli \(0°  0\), zatem:
$$\cos \alpha = \sqrt{\frac{21}{25}} = \frac{\sqrt{21}}{5}$$

**Krok 3: Porównanie \(\cos \alpha\) i \(\sin \alpha\)**

Musimy porównać \(\frac{\sqrt{21}}{5}\) z \(\frac{2}{5}\).

Ponieważ mianowniki są równe, wystarczy porównać liczniki:
$$\sqrt{21} \; ? \; 2$$

Podnosimy obie strony do kwadratu (obie są dodatnie):
$$21 > 4$$

Zatem:
$$\sqrt{21} > 2$$

A więc:
$$\frac{\sqrt{21}}{5} > \frac{2}{5}$$

czyli:
$$\cos \alpha > \sin \alpha$$

**Sprawdzenie pozostałych opcji:**
- A: \(\cos \alpha = \sin \alpha\) — fałsz (udowodniliśmy nierówność)
- C: \(\cos \alpha < \sin \alpha\) — fałsz (odwrotnie)
- D: \(\cos \alpha = 1 - \sin \alpha = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}\), ale \(\cos \alpha = \frac{\sqrt{21}}{5} \approx \frac{4,58}{5}\) — fałsz

**Odpowiedź: B**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** B

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2011/zad/16)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2011%2Fzad%2F16)

## Podobne zadania

- [Zadanie 17](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/17) — Zadanie 17. (8 pkt) Rozwiąż równanie: x x x cos 4 ctg 2 sin 2 dla π 2 ,0 ∈ x . Ze zbioru rozwiązań tego równania losujemy bez zwracania dwie liczby. Oblicz praw
- [Zadanie 16](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/16) — Zadanie 16. (7 pkt) Dane jest równanie postaci ( ) ( ) cos 1 cos 1 0 ⋅ x x p , gdzie R p ∈ jest parametrem. a) Dla 1 p wypisz wszystkie rozwiązania tego równani
- [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/9) — Zadanie 9. (0-5) Rozwiąż równanie 𝟑𝐜𝐨𝐬𝟐𝒙+ √𝟑𝐬𝐢𝐧(𝟐𝒙) -𝟑𝐬𝐢𝐧𝟐𝒙= 𝟎 w przedziale [-𝝅, 𝝅]. Zapisz obliczenia. 9. 0-1- 2-3- 4-5 MMAP-R0_100 MMAP-R0_100 Rozwiąż równani
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-5) Rozwiąż równanie 3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 w przedziale 〈-𝜋, 𝜋〉. EMAP-R0_100 Wypełnia egzaminator Nr zadania 12. Maks. liczba pkt 5 Uzyskan

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_