# Matematyka — zadanie 19

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2011/zad/19
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · listopad 2011 (podstawowa)
- rok: 2011
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Geometria analityczna

## Treść

Liczba punktów wspólnych okręgu o równaniu \((x-1)^2+y^2=4\) z prostą \(y=-1\) jest równa

## Rozwiązanie — sprawnamatura

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2011-19.png]

Aby znaleźć liczbę punktów wspólnych okręgu i prostej, podstawia się równanie prostej do równania okręgu.

**Krok 2: Analiza danych**

Okrąg: $$(x-1)^2 + y^2 = 4$$
- środek: $$S = (1, 0)$$
- promień: $$r = 2$$ (bo $$r^2 = 4$$)

Prosta: $$y = -1$$

**Krok 3: Podstawienie równania prostej do równania okręgu**

Podstawia się $$y = -1$$ do równania okręgu:

$$(x-1)^2 + (-1)^2 = 4$$

$$(x-1)^2 + 1 = 4$$

$$(x-1)^2 = 3$$

**Krok 4: Rozwiązanie równania**

$$x - 1 = \pm\sqrt{3}$$

$$x = 1 \pm \sqrt{3}$$

Otrzymuje się dwa rozwiązania:
- $$x_1 = 1 - \sqrt{3}$$
- $$x_2 = 1 + \sqrt{3}$$

**Krok 5: Punkty wspólne**

Okrąg i prosta mają dwa punkty wspólne:
- $$A = (1 - \sqrt{3}, -1)$$
- $$B = (1 + \sqrt{3}, -1)$$

**Weryfikacja geometryczna:**

Odległość środka okręgu $$S = (1, 0)$$ od prostej $$y = -1$$:
$$d = |0 - (-1)| = 1$$

Ponieważ $$d = 1 < r = 2$$, prosta przecina okrąg w dwóch punktach.

**Odpowiedź: C**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** C

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2011/zad/19)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2011%2Fzad%2F19)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Okrąg 𝑜1 o środku w punkcie 𝑆1 jest określony równaniem (𝑥-6)2 + (𝑦+ 1)2 = 16. Okrąg 𝑜2 ma środek w punkcie 𝑆2 takim, że 𝑆1𝑆2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [-4, 4
- [Zadanie 13](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-rozszerzona-czerwiec-2026/zad/13) — W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne \(ABC\), w których \(C = (0, 0)\), wierzchołek \(B\) leży na dodatnie
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest równoległobok 𝐴𝐵𝐶𝐷 o wierzchołkach 𝐴= (-8, -1) i 𝐷= (-13, 9) oraz środku symetrii 𝑀= (
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) prosta o równaniu 3𝑥+ 𝑦+ 2 = 0 przecina parabolę o równaniu 𝑦= 𝑥2 -2𝑥-8 w punktach 𝐴 oraz 𝐵, któ

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_