# Matematyka — zadanie 20

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2011/zad/20
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · listopad 2011 (podstawowa)
- rok: 2011
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Geometria analityczna

## Treść

Punkty \(A=(-2,-1)\) i \(B=(2,2)\) są wierzchołkami trójkąta równobocznego \(ABC\). Wysokość tego trójkąta jest równa

## Rozwiązanie — sprawnamatura

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2011-20.png]

Oblicza się długość boku trójkąta równobocznego.

Bok \(AB\) to:
$$|AB| = \sqrt{(2-(-2))^2 + (2-(-1))^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$$

**Związek między bokiem a wysokością w trójkącie równobocznym**

W trójkącie równobocznym o boku \(a\) wysokość wynosi:
$$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$

**Uzasadnienie wzoru:**

Wysokość w trójkącie równobocznym dzieli go na dwa trójkąty prostokątne o przyprostokątnych \(h\) i \(\frac{a}{2}\) oraz przeciwprostokątnej \(a\).

Z twierdzenia Pitagorasa:
$$h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = a^2$$

$$h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}$$

$$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$

**Obliczenie wysokości:**

Podstawiając \(a = 5\):
$$h = \frac{5\sqrt{3}}{2} = 2{,}5\sqrt{3}$$

**Odpowiedź: D**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** D

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2011/zad/20)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2011%2Fzad%2F20)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Okrąg 𝑜1 o środku w punkcie 𝑆1 jest określony równaniem (𝑥-6)2 + (𝑦+ 1)2 = 16. Okrąg 𝑜2 ma środek w punkcie 𝑆2 takim, że 𝑆1𝑆2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [-4, 4
- [Zadanie 13](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-rozszerzona-czerwiec-2026/zad/13) — W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne \(ABC\), w których \(C = (0, 0)\), wierzchołek \(B\) leży na dodatnie
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest równoległobok 𝐴𝐵𝐶𝐷 o wierzchołkach 𝐴= (-8, -1) i 𝐷= (-13, 9) oraz środku symetrii 𝑀= (
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) prosta o równaniu 3𝑥+ 𝑦+ 2 = 0 przecina parabolę o równaniu 𝑦= 𝑥2 -2𝑥-8 w punktach 𝐴 oraz 𝐵, któ

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_