# Matematyka — zadanie 24

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2011/zad/24
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · listopad 2011 (podstawowa)
- rok: 2011
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Stereometria

## Treść

Tworząca stożka jest o \(2\) dłuższa od promienia podstawy. Pole powierzchni bocznej tego stożka jest równe \(15\pi \). Tworząca stożka ma zatem długość

## Rozwiązanie — sprawnamatura

## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2011-24.png]

Oznaczmy:
- \(r\) – promień podstawy stożka
- \(l\) – tworząca stożka

## Krok 2: Zapisanie danych z treści zadania

Z warunku "tworząca stożka jest o 2 dłuższa od promienia podstawy":
$$l = r + 2$$

Pole powierzchni bocznej stożka wynosi \(15\pi\).

## Krok 3: Wzór na pole powierzchni bocznej stożka

Pole powierzchni bocznej stożka wyraża się wzorem:
$$P_{boczne} = \pi r l$$

## Krok 4: Podstawienie danych do wzoru

Podstawiamy \(P_{boczne} = 15\pi\) oraz \(l = r + 2\):
$$\pi r(r + 2) = 15\pi$$

## Krok 5: Rozwiązanie równania

Dzielimy obie strony przez \(\pi\):
$$r(r + 2) = 15$$

Rozwijamy nawias:
$$r^2 + 2r = 15$$

Przenosimy wszystko na lewą stronę:
$$r^2 + 2r - 15 = 0$$

## Krok 6: Rozwiązanie równania kwadratowego

Szukamy dwóch liczb, których iloczyn wynosi \(-15\), a suma wynosi \(2\). Są to liczby \(5\) i \(-3\).

Rozkład na czynniki:
$$(r + 5)(r - 3) = 0$$

Stąd:
$$r = -5 \quad \text{lub} \quad r = 3$$

Ponieważ promień musi być dodatni, \(r = 3\).

## Krok 7: Obliczenie długości tworzącej

$$l = r + 2 = 3 + 2 = 5$$

**Odpowiedź: B**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** B

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2011/zad/24)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2011%2Fzad%2F24)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątne, w których suma promienia okręgu opisanego na podstawie i długości krawędzi bocznej j
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/zad/10) — Zadanie 10. (7 pkt) W ostrosłupie czworokątnym prawidłowym wysokości przeciwległych ścian bocznych poprowadzone z wierzchołka ostrosłupa mają długości h i tworz
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2004-styczen-probna-podstawowa/zad/11) — Zadanie 11. (7 pkt) Wyznacz miarę kąta między ścianą boczną i płaszczyzną podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego wiedząc, że pole jego podstawy jest ró
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/10) — Zadanie 10. (0-6) Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆 o podstawie 𝐴𝐵𝐶𝐷 i polu powierzchni bocznej równym 𝑃. Kąt między wysokościami sąsiednich ścia

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_