# Matematyka — zadanie 27

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2011/zad/27
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · listopad 2011 (podstawowa)
- rok: 2011
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Trygonometria

## Treść

W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych ma długość \(a\). Kąt ostry przy tym boku ma miarę \(\alpha \). Wykaż, że \(\sin \alpha +\cos \alpha >1\).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2011-27.png]

Oznaczmy trójkąt prostokątny jako \(ABC\), gdzie kąt prosty jest przy wierzchołku \(C\).

**Krok 2: Ustalenie oznaczeń**

Niech:
- \(AC = a\) (dana przyprostokątna)
- kąt \(\alpha\) jest przy wierzchołku \(A\) (kąt ostry przy boku \(a\))
- \(BC = b\) (druga przyprostokątna)
- \(AB = c\) (przeciwprostokątna)

**Krok 3: Wyznaczenie \(\sin \alpha\) i \(\cos \alpha\)**

Z definicji funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym:

$$\sin \alpha = \frac{BC}{AB} = \frac{b}{c}$$

$$\cos \alpha = \frac{AC}{AB} = \frac{a}{c}$$

**Krok 4: Obliczenie sumy**

$$\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{b}{c} + \frac{a}{c} = \frac{a+b}{c}$$

**Krok 5: Wykazanie nierówności**

Musimy udowodnić, że:
$$\frac{a+b}{c} > 1$$

co jest równoważne:
$$a + b > c$$

**Krok 6: Uzasadnienie za pomocą nierówności trójkąta**

W dowolnym trójkącie suma długości dwóch boków jest większa od długości trzeciego boku (nierówność trójkąta).

W naszym trójkącie:
$$a + b > c$$

Ta nierówność jest ostra (ze znakiem \(>\)), ponieważ punkty \(A\), \(B\), \(C\) nie są współliniowe (tworzą trójkąt).

**Krok 7: Alternatywne uzasadnienie algebraiczne**

Z twierdzenia Pitagorasa: \(a^2 + b^2 = c^2\)

Rozważmy:
$$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = c^2 + 2ab$$

Ponieważ \(a > 0\) i \(b > 0\) (długości boków), to \(2ab > 0\), więc:
$$(a+b)^2 = c^2 + 2ab > c^2$$

Zatem:
$$a + b > c$$

**Wniosek:**

$$\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{a+b}{c} > 1$$

co było do wykazania. ∎

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2011/zad/27)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2011%2Fzad%2F27)

## Podobne zadania

- [Zadanie 17](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/17) — Zadanie 17. (8 pkt) Rozwiąż równanie: x x x cos 4 ctg 2 sin 2 dla π 2 ,0 ∈ x . Ze zbioru rozwiązań tego równania losujemy bez zwracania dwie liczby. Oblicz praw
- [Zadanie 16](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/16) — Zadanie 16. (7 pkt) Dane jest równanie postaci ( ) ( ) cos 1 cos 1 0 ⋅ x x p , gdzie R p ∈ jest parametrem. a) Dla 1 p wypisz wszystkie rozwiązania tego równani
- [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/9) — Zadanie 9. (0-5) Rozwiąż równanie 𝟑𝐜𝐨𝐬𝟐𝒙+ √𝟑𝐬𝐢𝐧(𝟐𝒙) -𝟑𝐬𝐢𝐧𝟐𝒙= 𝟎 w przedziale [-𝝅, 𝝅]. Zapisz obliczenia. 9. 0-1- 2-3- 4-5 MMAP-R0_100 MMAP-R0_100 Rozwiąż równani
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-5) Rozwiąż równanie 3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 w przedziale 〈-𝜋, 𝜋〉. EMAP-R0_100 Wypełnia egzaminator Nr zadania 12. Maks. liczba pkt 5 Uzyskan

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_