# Matematyka — zadanie 28

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2011/zad/28
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · listopad 2011 (podstawowa)
- rok: 2011
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Stereometria

## Treść

Wykaż, że przekątna prostopadłościanu o krawędziach długości \(a, b, c\) ma długość \(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2011-28.png]

Rozważmy prostopadłościan o krawędziach długości \(a\), \(b\), \(c\).

**Krok 2: Ustalenie układu współrzędnych**

Umieśćmy prostopadłościan w układzie współrzędnych tak, aby jeden z wierzchołków znajdował się w punkcie \(O = (0, 0, 0)\), a krawędzie wychodziły wzdłuż osi współrzędnych.

Wtedy przeciwległy wierzchołek (na końcu przekątnej) ma współrzędne \(P = (a, b, c)\).

**Krok 3: Obliczenie przekątnej podstawy**

Najpierw znajdźmy długość przekątnej prostokąta będącego podstawą prostopadłościanu (na przykład podstawy w płaszczyźnie \(xy\)).

Podstawa ma wymiary \(a \times b\), więc z twierdzenia Pitagorasa:

$$d_1 = \sqrt{a^2 + b^2}$$

**Krok 4: Obliczenie przekątnej prostopadłościanu**

Teraz rozważmy trójkąt prostokątny utworzony przez:
- przekątną podstawy \(d_1 = \sqrt{a^2 + b^2}\) (przyprostokątna)
- wysokość prostopadłościanu \(c\) (druga przyprostokątna)
- przekątną prostopadłościanu \(d\) (przeciwprostokątna)

Ponownie stosujemy twierdzenie Pitagorasa:

$$d^2 = d_1^2 + c^2$$

$$d^2 = (\sqrt{a^2 + b^2})^2 + c^2$$

$$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$$

**Krok 5: Wynik końcowy**

Pierwiastkując obie strony otrzymujemy:

$$d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$$

**Alternatywnie** (używając wzoru na odległość w przestrzeni):

Odległość między punktami \(O = (0, 0, 0)\) i \(P = (a, b, c)\) wynosi:

$$d = \sqrt{(a-0)^2 + (b-0)^2 + (c-0)^2} = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$$

co potwierdza nasz wynik.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2011/zad/28)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2011%2Fzad%2F28)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątne, w których suma promienia okręgu opisanego na podstawie i długości krawędzi bocznej j
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/zad/10) — Zadanie 10. (7 pkt) W ostrosłupie czworokątnym prawidłowym wysokości przeciwległych ścian bocznych poprowadzone z wierzchołka ostrosłupa mają długości h i tworz
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2004-styczen-probna-podstawowa/zad/11) — Zadanie 11. (7 pkt) Wyznacz miarę kąta między ścianą boczną i płaszczyzną podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego wiedząc, że pole jego podstawy jest ró
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/10) — Zadanie 10. (0-6) Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆 o podstawie 𝐴𝐵𝐶𝐷 i polu powierzchni bocznej równym 𝑃. Kąt między wysokościami sąsiednich ścia

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_