# Matematyka — zadanie 31

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2011/zad/31
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · listopad 2011 (podstawowa)
- rok: 2011
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Planimetria

## Treść

Przekątna równoległoboku ma długość \(10\) cm i tworzy z krótszym bokiem kąt prosty, a z dłuższym bokiem kąt \(30^\circ\). Oblicz długość krótszego boku tego równoległoboku.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2011-31.png]

Oznaczmy:
- \(a\) – długość krótszego boku
- \(b\) – długość dłuższego boku
- \(d = 10\) cm – długość przekątnej

**Krok 2: Analiza sytuacji**

Przekątna równoległoboku dzieli go na dwa przystające trójkąty. Rozpatrzmy jeden z nich, który ma boki: krótszy bok \(a\), dłuższy bok \(b\) i przekątną \(d = 10\) cm.

**Krok 3: Wykorzystanie informacji o kątach**

Z treści zadania:
- przekątna tworzy z krótszym bokiem kąt prosty (\(90^\circ\))
- przekątna tworzy z dłuższym bokiem kąt \(30^\circ\)

To oznacza, że w trójkącie mamy:
- kąt przy krótszym boku: \(90^\circ\)
- kąt przy dłuższym boku: \(30^\circ\)
- kąt przy wierzchołku przeciwległym: \(180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\)

**Krok 4: Rozpoznanie trójkąta**

Otrzymaliśmy trójkąt prostokątny z kątami \(30^\circ\), \(60^\circ\), \(90^\circ\).

**Krok 5: Ustalenie położenia boków**

W tym trójkącie:
- przeciwprostokątna to dłuższy bok \(b\)
- przekątna \(d = 10\) cm leży naprzeciw kąta \(60^\circ\)
- krótszy bok \(a\) leży naprzeciw kąta \(30^\circ\)

**Krok 6: Zastosowanie twierdzenia sinusów**

$$\frac{a}{\sin 30^\circ} = \frac{d}{\sin 60^\circ}$$

Podstawiamy wartości:

$$\frac{a}{\frac{1}{2}} = \frac{10}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$$

$$\frac{a}{\frac{1}{2}} = \frac{10 \cdot 2}{\sqrt{3}}$$

$$a \cdot 2 = \frac{20}{\sqrt{3}}$$

$$a = \frac{10}{\sqrt{3}}$$

**Krok 7: Wymiernienie mianownika**

$$a = \frac{10}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3}$$

**Odpowiedź:** Długość krótszego boku równoległoboku wynosi \(\frac{10\sqrt{3}}{3}\) cm.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(\frac{10\sqrt{3}}{3}\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2011/zad/31)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2011%2Fzad%2F31)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (10 pkt) W trójkącie jeden z kątów ma miarę ° 120 . Długości boków tego trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, którego suma wynosi 30.
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-podstawowa/zad/10) — W trapezie opisanym na okręgu kąty przy dłuższej podstawie mają miary \(60^{\circ}\) i \(30^{\circ}\), a długość wysokości tego trapezu jest równa 6. Sporządź o
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/18) — Zadanie 18. (8 pkt) Oblicz miary kątów dowolnego czworokąta wpisanego w okrąg o promieniu 2 5 R , wiedząc ponadto, że jedna z przekątnych tego czworokąta ma dłu
- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w których każda z przekątnych ma długość 10. Niech 𝑥 oznacza długość odcinka łączącego środki ra

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_