# Matematyka — zadanie 32

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2011/zad/32
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · listopad 2011 (podstawowa)
- rok: 2011
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 4
- działy: Planimetria

## Treść

Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny \(ABC\) jest styczny do przeciwprostokątnej \(AB\) w punkcie \(K\). Wiadomo, że \(|AK| = 4\) i \(|KB| = 6\). Oblicz promień tego okręgu.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Oznaczmy promień okręgu wpisanego jako \(r\), a kąt prosty trójkąta znajduje się w wierzchołku \(C\).

**Krok 1: Wykorzystanie własności stycznych**

Z punktu \(A\) do okręgu można poprowadzić dwie styczne. Niech okrąg styka się z przyprostokątną \(AC\) w punkcie \(P\), a z przyprostokątną \(BC\) w punkcie \(Q\).

Z własności stycznych do okręgu z punktu zewnętrznego:
- \(|AK| = |AP| = 4\)
- \(|BK| = |BQ| = 6\)
- \(|CP| = |CQ| = r\) (bo \(C\) jest wierzchołkiem kąta prostego)

**Krok 2: Wyznaczenie długości boków**

Możemy teraz wyznaczyć długości boków trójkąta:
- \(|AB| = |AK| + |KB| = 4 + 6 = 10\)
- \(|AC| = |AP| + |PC| = 4 + r\)
- \(|BC| = |BQ| + |QC| = 6 + r\)

**Krok 3: Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa**

Ponieważ trójkąt \(ABC\) jest prostokątny z kątem prostym przy \(C\), zachodzi:

$$|AB|^2 = |AC|^2 + |BC|^2$$

Podstawiając nasze wyrażenia:

$$10^2 = (4+r)^2 + (6+r)^2$$

**Krok 4: Rozwiązanie równania**

$$100 = (4+r)^2 + (6+r)^2$$

$$100 = 16 + 8r + r^2 + 36 + 12r + r^2$$

$$100 = 52 + 20r + 2r^2$$

$$2r^2 + 20r + 52 = 100$$

$$2r^2 + 20r - 48 = 0$$

Dzielimy przez 2:

$$r^2 + 10r - 24 = 0$$

**Krok 5: Rozwiązanie równania kwadratowego**

Szukamy rozkładu: \(r^2 + 10r - 24 = (r+12)(r-2) = 0\)

Stąd: \(r = -12\) lub \(r = 2\)

Ponieważ promień musi być dodatni: \(r = 2\)

**Odpowiedź: \(r = 2\)**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(r=2\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2011/zad/32)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2011%2Fzad%2F32)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (10 pkt) W trójkącie jeden z kątów ma miarę ° 120 . Długości boków tego trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, którego suma wynosi 30.
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-podstawowa/zad/10) — W trapezie opisanym na okręgu kąty przy dłuższej podstawie mają miary \(60^{\circ}\) i \(30^{\circ}\), a długość wysokości tego trapezu jest równa 6. Sporządź o
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/18) — Zadanie 18. (8 pkt) Oblicz miary kątów dowolnego czworokąta wpisanego w okrąg o promieniu 2 5 R , wiedząc ponadto, że jedna z przekątnych tego czworokąta ma dłu
- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w których każda z przekątnych ma długość 10. Niech 𝑥 oznacza długość odcinka łączącego środki ra

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_