# Matematyka — zadanie 33

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2011/zad/33
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · listopad 2011 (podstawowa)
- rok: 2011
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 4
- działy: Prawdopodobieństwo

## Treść

Rzucamy dwukrotnie kostką do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że liczba oczek otrzymana w pierwszym rzucie jest większa od liczby oczek otrzymanej w drugim rzucie?

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Określam przestrzeń zdarzeń elementarnych.

Rzucamy dwukrotnie kostką, więc każdy wynik to para \((i, j)\), gdzie \(i\) to wynik pierwszego rzutu, a \(j\) to wynik drugiego rzutu.

Liczba wszystkich możliwych wyników:
$$|\Omega| = 6 \cdot 6 = 36$$

**Definiuję zdarzenie sprzyjające.**

Szuka się prawdopodobieństwa zdarzenia \(A\): "liczba oczek w pierwszym rzucie jest większa od liczby oczek w drugim rzucie", czyli \(i > j\).

**Liczy się przypadki sprzyjające.**

Wypisuję systematycznie pary \((i, j)\) spełniające warunek \(i > j\):

- Gdy \(i = 1\): brak par (bo \(j \geq 1\))
- Gdy \(i = 2\): para \((2, 1)\) — **1 para**
- Gdy \(i = 3\): pary \((3, 1), (3, 2)\) — **2 pary**
- Gdy \(i = 4\): pary \((4, 1), (4, 2), (4, 3)\) — **3 pary**
- Gdy \(i = 5\): pary \((5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4)\) — **4 pary**
- Gdy \(i = 6\): pary \((6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5)\) — **5 par**

Liczba przypadków sprzyjających:
$$|A| = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$$

**Oblicza się prawdopodobieństwo.**

$$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$$

**Odpowiedź:** \(\frac{5}{12}\)

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(\frac{5}{12}\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2011/zad/33)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2011%2Fzad%2F33)

## Podobne zadania

- [Zadanie 96](https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-pp-treningowe/zad/96) — Z pojemnika, w którym są dwa losy wygrywające i trzy losy puste, losujemy dwa razy po jednym losie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo, że otrzymamy co naj
- [Zadanie 6](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-rozszerzona-czerwiec-2026/zad/6) — Chleb sprzedawany w pewnym supermarkecie pochodzi z trzech piekarni: \(\mathcal{P}_1\), \(\mathcal{P}_2\), \(\mathcal{P}_3\). Stosunek liczby bochenków chleba d
- [Zadanie 76](https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2025-pp/zad/76) — Spośród wszystkich czterocyfrowych całkowitych liczb dodatnich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana lic
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-4) W pudełku umieszczono 𝑛 kul (𝑛≥3) wśród których dokładnie 2 kule są czarne, a pozostałe kule są białe. Z tego pudełka losujemy jedną kulę i od

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_