# Matematyka — zadanie 34

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2011/zad/34
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · listopad 2011 (podstawowa)
- rok: 2011
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 5
- działy: Funkcja liniowa

## Treść

Piramida ma kształt ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego wysokość jest równa \(6\), a długość krawędzi bocznej jest równa \(2\sqrt{15}\). Oblicz miarę kąta nachylenia ściany bocznej piramidy do podstawy.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2011-34.png]

Oznaczmy:
- \(H = 6\) – wysokość ostrosłupa
- \(b = 2\sqrt{15}\) – długość krawędzi bocznej
- \(a\) – długość krawędzi podstawy

**Krok 2: Znajdźmy długość krawędzi podstawy**

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym wysokość pada na środek kwadratu podstawy. Rozważmy trójkąt prostokątny utworzony przez:
- wysokość ostrosłupa \(H = 6\)
- odległość od środka podstawy do wierzchołka podstawy (połowa przekątnej kwadratu) = \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\)
- krawędź boczną \(b = 2\sqrt{15}\)

Z twierdzenia Pitagorasa:
$$b^2 = H^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2$$

$$(2\sqrt{15})^2 = 6^2 + \frac{2a^2}{4}$$

$$60 = 36 + \frac{a^2}{2}$$

$$24 = \frac{a^2}{2}$$

$$a^2 = 48$$

$$a = 4\sqrt{3}$$

**Krok 3: Znajdźmy kąt nachylenia ściany bocznej**

Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy to kąt między płaszczyzną ściany bocznej a płaszczyzną podstawy.

Ten kąt znajduje się w płaszczyźnie prostopadłej do krawędzi podstawy. Rozważmy przekrój przez:
- wysokość ostrosłupa
- środek krawędzi podstawy (apotema)

W tym przekroju mamy trójkąt prostokątny, w którym:
- przyprostokątna pionowa = wysokość \(H = 6\)
- przyprostokątna pozioma = odległość od środka podstawy do środka krawędzi (apotema podstawy) = \(\frac{a}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\)
- przeciwprostokątna = apotema ściany bocznej

Kąt \(\alpha\) między ścianą boczną a podstawą spełnia:
$$\tan \alpha = \frac{H}{\frac{a}{2}} = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$$

Ponieważ \(\tan \alpha = \sqrt{3}\), to:
$$\alpha = 60°$$

**Odpowiedź: Miara kąta nachylenia ściany bocznej piramidy do podstawy wynosi \(60°\).**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(60^\circ \)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2011/zad/34)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2011%2Fzad%2F34)

## Podobne zadania

- [Zadanie 33](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2018/zad/33) — Ze zbioru \(A = \{-3, -2, -1, 1, 2, 3\}\) losujemy liczbę \(a\), natomiast ze zbioru \(B = \{-1, 0, 1, 2\}\) losujemy liczbę \(b\). Te liczby są - odpowiednio -
- [Zadanie 22](https://matura.lol/question/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/22) — Zadanie 22. (0-2) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dana jest prosta 𝑘 o równaniu 𝑦= 5𝑥+ 7. Prosta 𝑙 jest równoległa do prostej 𝑘 i przecina oś 𝑂𝑦 w
- [Zadanie 12.2](https://matura.lol/question/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad/12.2) — Zadanie 12.2. (0-2) Oblicz wartość współczynnika 𝒂 oraz wartość współczynnika 𝒃. Zapisz obliczenia. 12.2. 0-2 MMAP-P0_100 Oblicz wartość współczynnika a oraz wa
- [Zadanie 31](https://matura.lol/question/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/zad/31) — Zadanie 31. (0-2) (28) Funkcja liniowa 𝑓 przyjmuje wartość 2 dla argumentu 0, a ponadto 𝑓(4) -𝑓(2) = 6. Wyznacz wzór funkcji 𝑓. Odpowiedź: EMAP-P0_100 Rozwiązan

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_