# Matematyka — zadanie 14

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2012/zad/14
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · listopad 2012 (podstawowa)
- rok: 2012
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Trygonometria

## Treść

Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\operatorname{tg} \alpha =\frac{12}{5}\). Wówczas \(\cos \alpha \) jest równy:

## Rozwiązanie — sprawnamatura

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2012-14.png]

Skoro $\operatorname{tg} \alpha = \frac{12}{5}$, to z definicji tangensa:

$$\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{12}{5}$$

**Metoda 1: Trójkąt prostokątny**

Tangens to stosunek przeciwprostokątnej do przyprostokątnej, więc możemy rozpatrzyć trójkąt prostokątny, w którym:
- przyprostokątna przyległa = 5
- przyprostokątna przeciwległa = 12

Z twierdzenia Pitagorasa znajdujemy przeciwprostokątną $c$:

$$c^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$$

$$c = \sqrt{169} = 13$$

Zatem:

$$\cos \alpha = \frac{\text{przyprostokątna przyległa}}{\text{przeciwprostokątna}} = \frac{5}{13}$$

**Metoda 2: Tożsamość trygonometryczna**

Z tożsamości $1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$:

$$1 + \left(\frac{12}{5}\right)^2 = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$$

$$1 + \frac{144}{25} = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$$

$$\frac{25 + 144}{25} = \frac{169}{25} = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$$

$$\cos^2 \alpha = \frac{25}{169}$$

Ponieważ kąt $\alpha$ jest ostry, to $\cos \alpha > 0$, więc:

$$\cos \alpha = \frac{5}{13}$$

**Odpowiedź: B**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** B

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2012/zad/14)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2012%2Fzad%2F14)

## Podobne zadania

- [Zadanie 17](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/17) — Zadanie 17. (8 pkt) Rozwiąż równanie: x x x cos 4 ctg 2 sin 2 dla π 2 ,0 ∈ x . Ze zbioru rozwiązań tego równania losujemy bez zwracania dwie liczby. Oblicz praw
- [Zadanie 16](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/16) — Zadanie 16. (7 pkt) Dane jest równanie postaci ( ) ( ) cos 1 cos 1 0 ⋅ x x p , gdzie R p ∈ jest parametrem. a) Dla 1 p wypisz wszystkie rozwiązania tego równani
- [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/9) — Zadanie 9. (0-5) Rozwiąż równanie 𝟑𝐜𝐨𝐬𝟐𝒙+ √𝟑𝐬𝐢𝐧(𝟐𝒙) -𝟑𝐬𝐢𝐧𝟐𝒙= 𝟎 w przedziale [-𝝅, 𝝅]. Zapisz obliczenia. 9. 0-1- 2-3- 4-5 MMAP-R0_100 MMAP-R0_100 Rozwiąż równani
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-5) Rozwiąż równanie 3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 w przedziale 〈-𝜋, 𝜋〉. EMAP-R0_100 Wypełnia egzaminator Nr zadania 12. Maks. liczba pkt 5 Uzyskan

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_