# Matematyka — zadanie 21

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2012/zad/21
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · listopad 2012 (podstawowa)
- rok: 2012
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Planimetria

## Treść

Długość promienia \(r\) okręgu opisanego na kwadracie jest równa \(2\sqrt{3}\). Długość boku tego kwadratu ma wartość:

## Rozwiązanie — sprawnamatura

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2012-21.png]

Oznaczmy długość boku kwadratu przez \(a\).

**Krok 2: Związek między przekątną a bokiem kwadratu**

W kwadracie o boku \(a\) przekątna \(d\) wynosi:
$$d = a\sqrt{2}$$

**Krok 3: Związek między promieniem okręgu opisanego a przekątną**

Okrąg opisany na kwadracie przechodzi przez wszystkie cztery wierzchołki kwadratu. Środek tego okręgu znajduje się w punkcie przecięcia przekątnych kwadratu.

Promień okręgu opisanego jest równy połowie przekątnej kwadratu:
$$r = \frac{d}{2}$$

**Krok 4: Wyrażenie boku przez promień**

Podstawiając \(d = a\sqrt{2}\) do wzoru na promień:
$$r = \frac{a\sqrt{2}}{2}$$

**Krok 5: Obliczenie boku kwadratu**

Mamy \(r = 2\sqrt{3}\), więc:
$$2\sqrt{3} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$$

Mnożymy obie strony przez 2:
$$4\sqrt{3} = a\sqrt{2}$$

Dzielimy obie strony przez \(\sqrt{2}\):
$$a = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$$

**Krok 6: Wymiernianie mianownika**

$$a = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{4\sqrt{6}}{2} = 2\sqrt{6}$$

**Odpowiedź: B**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** B

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2012/zad/21)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2012%2Fzad%2F21)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (10 pkt) W trójkącie jeden z kątów ma miarę ° 120 . Długości boków tego trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, którego suma wynosi 30.
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-podstawowa/zad/10) — W trapezie opisanym na okręgu kąty przy dłuższej podstawie mają miary \(60^{\circ}\) i \(30^{\circ}\), a długość wysokości tego trapezu jest równa 6. Sporządź o
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/18) — Zadanie 18. (8 pkt) Oblicz miary kątów dowolnego czworokąta wpisanego w okrąg o promieniu 2 5 R , wiedząc ponadto, że jedna z przekątnych tego czworokąta ma dłu
- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w których każda z przekątnych ma długość 10. Niech 𝑥 oznacza długość odcinka łączącego środki ra

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_