# Matematyka — zadanie 24

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2012/zad/24
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · listopad 2012 (podstawowa)
- rok: 2012
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Ciągi

## Treść

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\) drugi wyraz jest równy \(7\), a szósty \(17\). Wyznacz pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Dane są dwa wyrazy ciągu arytmetycznego. Wykorzystuje się wzór ogólny na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego.

## Wzór ogólny ciągu arytmetycznego

$$a_n = a_1 + (n-1) \cdot r$$

gdzie \(a_1\) to pierwszy wyraz, a \(r\) to różnica ciągu.

## Zapisuje się dane z treści zadania

Z treści zadania dane są:
- \(a_2 = 7\)
- \(a_6 = 17\)

## Układam układ równań

Dla drugiego wyrazu:
$$a_2 = a_1 + (2-1) \cdot r$$
$$7 = a_1 + r$$

Dla szóstego wyrazu:
$$a_6 = a_1 + (6-1) \cdot r$$
$$17 = a_1 + 5r$$

## Rozwiązuje się układ równań

Układ równań:
$$\begin{cases}
a_1 + r = 7 \\
a_1 + 5r = 17
\end{cases}$$

Po odjęciu pierwszego równania od drugiego:
$$(a_1 + 5r) - (a_1 + r) = 17 - 7$$
$$4r = 10$$
$$r = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$$

## Wyznaczenie pierwszego wyrazu

Po podstawieniu \(r = \frac{5}{2}\) do pierwszego równania:
$$a_1 + \frac{5}{2} = 7$$
$$a_1 = 7 - \frac{5}{2} = \frac{14}{2} - \frac{5}{2} = \frac{9}{2}$$

## Sprawdzenie

- \(a_2 = \frac{9}{2} + 1 \cdot \frac{5}{2} = \frac{9}{2} + \frac{5}{2} = \frac{14}{2} = 7\) ✓
- \(a_6 = \frac{9}{2} + 5 \cdot \frac{5}{2} = \frac{9}{2} + \frac{25}{2} = \frac{34}{2} = 17\) ✓

## Odpowiedź

$$a_1 = \frac{9}{2}, \quad r = \frac{5}{2}$$

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(a_1=\frac{9}{2}\), \(r=\frac{5}{2}\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2012/zad/24)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2012%2Fzad%2F24)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (7 pkt) Nieskończony ciąg geometryczny ( ) n a jest zdefiniowany wzorem rekurencyjnym: ), 2 ( log ,2 2 1 1 ⋅ k a a a n n dla każdej liczby naturalne
- [Zadanie 20](https://matura.lol/question/matematyka-2004-styczen-probna-rozszerzona/zad/20) — Zadanie 20. (7 pkt) Różnica ciągu arytmetycznego (an) jest liczbą mniejszą od 1. Wyznacz najmniejszą wartość wyrażenia 50 49 1 a a a ⋅ wiedząc, że 1 51 = a
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-6) Trzywyrazowy ciąg ( ) , , a b c o wyrazach dodatnich jest arytmetyczny, natomiast ciąg 1 2 1 , , 3 2 2 a b a b c       jest geometryczny
- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/4) — Zadanie 4. (6 pkt) Liczby a, b, c są - odpowiednio - pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg ( ) 2, , 2 1 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_