# Matematyka — zadanie 28

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2012/zad/28
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · listopad 2012 (podstawowa)
- rok: 2012
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Potęgi i pierwiastki

## Treść

Dana jest liczba \(a=\sqrt{(2-2\sqrt{5})^2}-2\sqrt{5}\) . Wykaż, że liczba \(a\) jest całkowita.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Punktem wyjścia jest uproszczenie wyrażenia pod pierwiastkiem kwadratowym.

**Krok 1: Obliczenie wartości bezwzględnej**

Mamy $$a = \sqrt{(2-2\sqrt{5})^2} - 2\sqrt{5}$$

Przypomnijmy, że $$\sqrt{x^2} = |x|$$

Więc:
$$a = |2-2\sqrt{5}| - 2\sqrt{5}$$

**Krok 2: Określenie znaku wyrażenia \(2-2\sqrt{5}\)**

Sprawdźmy, czy \(2-2\sqrt{5}\) jest dodatnie czy ujemne:

$$2 - 2\sqrt{5} = 2(1-\sqrt{5})$$

Ponieważ \(\sqrt{5} \approx 2{,}236 > 1\), to:
$$1 - \sqrt{5} < 0$$

Zatem:
$$2 - 2\sqrt{5} < 0$$

**Krok 3: Zastosowanie definicji wartości bezwzględnej**

Skoro \(2-2\sqrt{5} < 0\), to:
$$|2-2\sqrt{5}| = -(2-2\sqrt{5}) = -2+2\sqrt{5} = 2\sqrt{5}-2$$

**Krok 4: Podstawienie do wzoru na \(a\)**

$$a = (2\sqrt{5}-2) - 2\sqrt{5}$$

$$a = 2\sqrt{5} - 2 - 2\sqrt{5}$$

$$a = -2$$

**Wniosek:**

Liczba \(a = -2\) jest liczbą całkowitą, co kończy dowód.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2012/zad/28)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2012%2Fzad%2F28)

## Podobne zadania

- [Zadanie 105](https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-pp-treningowe/zad/105) — Wykaż, że prawdziwa jest nierówność \(\sqrt{2^{50} + 1} + \sqrt{2^{50} - 1} \lt 2^{26}\).
- [Zadanie 47](https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2025-pp/zad/47) — Wierzchołki \(A\) i \(C\) trójkąta \(ABC\) leżą na okręgu o promieniu \(r\). Środek \(S\) tego okręgu leży na boku \(AB\) tego trójkąta (zobacz rysunek poniżej)
- [Zadanie 34](https://matura.lol/question/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad/34) — Zadanie 34. (0-4) Dany jest trójkąt rozwartokątny ABC, w którym ACB  ma miarę 120°. Ponadto wiadomo, że 10 BC = i 10 7 AB = (zobacz rysunek). Oblicz długość tr
- [Zadanie 7](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2024/zad/7) — Rozwiąż równanie \[ x^{3}+5 x^{2}-2 x-10=0 \] Zapisz obliczenia.

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_