# Matematyka — zadanie 31

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2012/zad/31
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · listopad 2012 (podstawowa)
- rok: 2012
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 5
- działy: Stereometria

## Treść

Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny. Pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest równe \(24\), a kąt płaski ściany bocznej przy podstawie ma miarę \(\alpha \) i \(\operatorname{tg} \alpha =2\). Wyznacz cosinus kąta nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2012-31.png]

Oznaczeń i dane:
- Ostrosłup prawidłowy trójkątny (podstawa to trójkąt równoboczny)
- Pole powierzchni bocznej: \(P_b = 24\)
- Kąt płaski ściany bocznej przy podstawie: \(\alpha\), gdzie \(\operatorname{tg} \alpha = 2\)

**Krok 2: Zrozumienie kąta płaskiego ściany bocznej**

Ściana boczna to trójkąt równoramienny. Kąt płaski przy podstawie to jeden z dwóch kątów równych tego trójkąta (kąty przy krawędzi podstawy ostrosłupa).

Niech:
- \(a\) = długość krawędzi podstawy
- \(h_b\) = wysokość ściany bocznej (apotema ostrosłupa)

**Krok 3: Wykorzystanie warunku \(\operatorname{tg} \alpha = 2\)**

W trójkącie równoramiennym (ściana boczna) o podstawie \(a\) i ramionach \(b\):

$$\operatorname{tg} \alpha = \frac{h_b}{\frac{a}{2}} = \frac{2h_b}{a}$$

Z warunku \(\operatorname{tg} \alpha = 2\):

$$\frac{2h_b}{a} = 2$$

$$h_b = a$$

**Krok 4: Obliczenie pola powierzchni bocznej**

Powierzchnia boczna składa się z 3 równych trójkątów:

$$P_b = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_b = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{3a^2}{2}$$

Z warunku \(P_b = 24\):

$$\frac{3a^2}{2} = 24$$

$$a^2 = 16$$

$$a = 4$$

Zatem \(h_b = 4\).

**Krok 5: Znalezienie wysokości ostrosłupa**

Dla trójkąta równobocznego o boku \(a = 4\), promień okręgu wpisanego:

$$r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{4}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$$

Wysokość ostrosłupa \(H\) możemy znaleźć z trójkąta prostokątnego utworzonego przez:
- \(H\) (wysokość ostrosłupa)
- \(r\) (odległość od środka podstawy do środka krawędzi podstawy)
- \(h_b\) (apotema = wysokość ściany bocznej)

$$H^2 + r^2 = h_b^2$$

$$H^2 + \left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)^2 = 16$$

$$H^2 + \frac{4 \cdot 3}{9} = 16$$

$$H^2 + \frac{4}{3} = 16$$

$$H^2 = 16 - \frac{4}{3} = \frac{48 - 4}{3} = \frac{44}{3}$$

**Krok 6: Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy**

Kąt nachylenia \(\beta\) ściany bocznej do podstawy obliczamy z tego samego trójkąta prostokątnego:

$$\cos \beta = \frac{r}{h_b} = \frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{4} = \frac{2\sqrt{3}}{12} = \frac{\sqrt{3}}{6}$$

**Odpowiedź:** \(\cos \beta = \frac{\sqrt{3}}{6}\)

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(\frac{\sqrt{3}}{6}\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2012/zad/31)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2012%2Fzad%2F31)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątne, w których suma promienia okręgu opisanego na podstawie i długości krawędzi bocznej j
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/zad/10) — Zadanie 10. (7 pkt) W ostrosłupie czworokątnym prawidłowym wysokości przeciwległych ścian bocznych poprowadzone z wierzchołka ostrosłupa mają długości h i tworz
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2004-styczen-probna-podstawowa/zad/11) — Zadanie 11. (7 pkt) Wyznacz miarę kąta między ścianą boczną i płaszczyzną podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego wiedząc, że pole jego podstawy jest ró
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/10) — Zadanie 10. (0-6) Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆 o podstawie 𝐴𝐵𝐶𝐷 i polu powierzchni bocznej równym 𝑃. Kąt między wysokościami sąsiednich ścia

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_