# Matematyka — zadanie 32

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2012/zad/32
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · listopad 2012 (podstawowa)
- rok: 2012
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 5
- działy: Równania i nierówności

## Treść

Turysta pokonał pieszo trasę długości \(30\) km z miejscowości \(A\) do miejscowości \(B\) ze stałą prędkością. Rowerem poruszałby się z prędkością o \(9\) km/h większą i przybyłby do celu o 3 godziny wcześniej. Wyznacz prędkość marszu turysty i czas przejścia tej drogi.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Oznacza się wielkości występujące w zadaniu:
- \(v\) [km/h] – prędkość marszu turysty
- \(t\) [h] – czas przejścia trasy pieszo
- \(s = 30\) km – długość trasy

## Krok 1: Zapisuje się zależność między drogą, prędkością i czasem dla marszu pieszo

Ze wzoru \(s = v \cdot t\) otrzymuje się:
$$30 = v \cdot t$$

Stąd:
$$t = \frac{30}{v}$$

## Krok 2: Zapisuje się warunki dla jazdy rowerem

Gdyby turysta jechał rowerem:
- prędkość wynosiłaby: \(v + 9\) [km/h]
- czas przejazdu: \(t - 3\) [h] (o 3 godziny krócej)

Korzysta się ponownie ze wzoru \(s = v \cdot t\):
$$30 = (v + 9)(t - 3)$$

## Krok 3: Podstawia się wyrażenie na \(t\) z kroku 1

Z pierwszego równania wynika, że \(t = \frac{30}{v}\), więc:
$$30 = (v + 9)\left(\frac{30}{v} - 3\right)$$

## Krok 4: Rozwija się i upraszcza równanie

$$30 = (v + 9) \cdot \frac{30 - 3v}{v}$$

$$30v = (v + 9)(30 - 3v)$$

$$30v = 30v - 3v^2 + 270 - 27v$$

$$30v = 30v - 3v^2 + 270 - 27v$$

$$0 = -3v^2 - 27v + 270$$

Dzieli się obie strony przez \(-3\):
$$v^2 + 9v - 90 = 0$$

## Krok 5: Rozwiązuje się równanie kwadratowe

Oblicza się wyróżnik:
$$\Delta = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-90) = 81 + 360 = 441 = 21^2$$

$$v = \frac{-9 \pm 21}{2}$$

Otrzymuje się dwa rozwiązania:
- \(v_1 = \frac{-9 + 21}{2} = \frac{12}{2} = 6\)
- \(v_2 = \frac{-9 - 21}{2} = \frac{-30}{2} = -15\)

Ponieważ prędkość musi być dodatnia: \(v = 6\) km/h

## Krok 6: Oblicza się czas marszu

$$t = \frac{30}{v} = \frac{30}{6} = 5 \text{ h}$$

## Sprawdzenie

- Marsz pieszo: \(30\) km przy \(6\) km/h trwa \(5\) h ✓
- Jazda rowerem: \(30\) km przy \(15\) km/h trwa \(2\) h ✓
- Różnica czasu: \(5 - 2 = 3\) h ✓

**Odpowiedź:** Prędkość marszu turysty wynosi \(v = 6\) km/h, a czas przejścia trasy \(t = 5\) h.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(v=6\) km/h, \(t=5\) h

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2012/zad/32)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2012%2Fzad%2F32)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2005-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (10 pkt) Dane jest równanie: ( ) 0 4 1 5 2 2 m m x m x Zbadaj, dla jakich wartości parametru m stosunek sumy pierwiastków rzeczywistych równania do 
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/18) — Zadanie 18. (10 pkt) Rozwiąż nierówność ( ) 9 ,0 2 8 1 4 1 2 1 > x x x x , gdzie lewa strona tej nierówności jest sumą nieskończonego ciągu geometrycznego. 9 Ar
- [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-podstawowa/zad/9) — Dane są zbiory liczb rzeczywistych: \(A = \left\{ x : \frac{3}{x} \leq 1 \right\}\) i \(B = \left\{ x : |x+1| < 3 \right\}\). a) Zaznacz te zbiory na osi liczbo
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-6) Wyznacz wszystkie wartości parametru 𝒎, dla których równanie (𝟑-𝒎) ⋅𝒙𝟐+ (𝒎+ 𝟏) ⋅𝒙-(𝒎+ 𝟏)𝟐= 𝟎 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste 𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 speł

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_