# Matematyka — zadanie 8

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2012/zad/8
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · listopad 2012 (podstawowa)
- rok: 2012
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Ciągi

## Treść

Suma \(2n\) początkowych liczb naturalnych dodatnich parzystych jest równa:

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Szukamy sumy \(2n\) początkowych liczb naturalnych dodatnich parzystych.

**Krok 1: Wypisanie ciągu**

Pierwsze \(2n\) liczb naturalnych dodatnich parzystych to:
$$2, 4, 6, 8, \ldots, 4n-2, 4n$$

**Krok 2: Rozpoznanie ciągu arytmetycznego**

To ciąg arytmetyczny o:
- pierwszym wyrazie \(a_1 = 2\)
- różnicy \(r = 2\)
- ostatnim (2n-tym) wyrazie \(a_{2n} = 4n\)

Sprawdzenie: \(a_{2n} = a_1 + (2n-1) \cdot r = 2 + (2n-1) \cdot 2 = 2 + 4n - 2 = 4n\) ✓

**Krok 3: Wzór na sumę ciągu arytmetycznego**

$$S_{2n} = \frac{(\text{pierwszy wyraz} + \text{ostatni wyraz}) \cdot \text{liczba wyrazów}}{2}$$

$$S_{2n} = \frac{(a_1 + a_{2n}) \cdot 2n}{2} = \frac{(2 + 4n) \cdot 2n}{2}$$

**Krok 4: Uproszczenie**

$$S_{2n} = \frac{2n(2 + 4n)}{2} = n(2 + 4n) = 2n + 4n^2$$

$$S_{2n} = 4n^2 + 2n$$

**Weryfikacja dla \(n=1\):** suma dwóch pierwszych liczb parzystych to \(2+4=6\), a wzór daje \(4 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1 = 6\) ✓

**Odpowiedź: B**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** B

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2012/zad/8)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2012%2Fzad%2F8)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (7 pkt) Nieskończony ciąg geometryczny ( ) n a jest zdefiniowany wzorem rekurencyjnym: ), 2 ( log ,2 2 1 1 ⋅ k a a a n n dla każdej liczby naturalne
- [Zadanie 20](https://matura.lol/question/matematyka-2004-styczen-probna-rozszerzona/zad/20) — Zadanie 20. (7 pkt) Różnica ciągu arytmetycznego (an) jest liczbą mniejszą od 1. Wyznacz najmniejszą wartość wyrażenia 50 49 1 a a a ⋅ wiedząc, że 1 51 = a
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-6) Trzywyrazowy ciąg ( ) , , a b c o wyrazach dodatnich jest arytmetyczny, natomiast ciąg 1 2 1 , , 3 2 2 a b a b c       jest geometryczny
- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/4) — Zadanie 4. (6 pkt) Liczby a, b, c są - odpowiednio - pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg ( ) 2, , 2 1 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_