# Matematyka — zadanie 9

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2012/zad/9
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · listopad 2012 (podstawowa)
- rok: 2012
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Trygonometria

## Treść

W trójkącie równoramiennym wysokość jest dwa razy dłuższa od podstawy. Wynika stąd, że sinus kąta przy podstawie wynosi:

## Rozwiązanie — sprawnamatura

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2012-09.png]

Oznaczeń i analiza zadania:
- Niech podstawa trójkąta równoramiennego ma długość \(a\)
- Wysokość opuszczona na podstawę ma długość \(h = 2a\)
- W trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona na podstawę dzieli ją na połowy

**Krok 2: Rozpatrzenie trójkąta prostokątnego**

Wysokość w trójkącie równoramiennym dzieli go na dwa przystające trójkąty prostokąte. W każdym z nich:
- jedna przyprostokątna to połowa podstawy: \(\frac{a}{2}\)
- druga przyprostokątna to wysokość: \(h = 2a\)
- przeciwprostokątna to ramię trójkąta równoramiennego: \(b\)

**Krok 3: Obliczenie długości ramienia**

Z twierdzenia Pitagorasa:
$$b^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + (2a)^2$$

$$b^2 = \frac{a^2}{4} + 4a^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{16a^2}{4} = \frac{17a^2}{4}$$

$$b = \frac{a\sqrt{17}}{2}$$

**Krok 4: Obliczenie sinusa kąta przy podstawie**

Kąt przy podstawie oznaczmy jako \(\alpha\). W trójkącie prostokątnym:

$$\sin \alpha = \frac{\text{przyprostokątna przeciwległa}}{\text{przeciwprostokątna}} = \frac{h}{b}$$

$$\sin \alpha = \frac{2a}{\frac{a\sqrt{17}}{2}} = \frac{2a \cdot 2}{a\sqrt{17}} = \frac{4}{\sqrt{17}}$$

**Krok 5: Wymiernienie mianownika**

$$\sin \alpha = \frac{4}{\sqrt{17}} \cdot \frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}} = \frac{4\sqrt{17}}{17}$$

**Odpowiedź: C**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** C

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2012/zad/9)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2012%2Fzad%2F9)

## Podobne zadania

- [Zadanie 17](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/17) — Zadanie 17. (8 pkt) Rozwiąż równanie: x x x cos 4 ctg 2 sin 2 dla π 2 ,0 ∈ x . Ze zbioru rozwiązań tego równania losujemy bez zwracania dwie liczby. Oblicz praw
- [Zadanie 16](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/16) — Zadanie 16. (7 pkt) Dane jest równanie postaci ( ) ( ) cos 1 cos 1 0 ⋅ x x p , gdzie R p ∈ jest parametrem. a) Dla 1 p wypisz wszystkie rozwiązania tego równani
- [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/9) — Zadanie 9. (0-5) Rozwiąż równanie 𝟑𝐜𝐨𝐬𝟐𝒙+ √𝟑𝐬𝐢𝐧(𝟐𝒙) -𝟑𝐬𝐢𝐧𝟐𝒙= 𝟎 w przedziale [-𝝅, 𝝅]. Zapisz obliczenia. 9. 0-1- 2-3- 4-5 MMAP-R0_100 MMAP-R0_100 Rozwiąż równani
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-5) Rozwiąż równanie 3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 w przedziale 〈-𝜋, 𝜋〉. EMAP-R0_100 Wypełnia egzaminator Nr zadania 12. Maks. liczba pkt 5 Uzyskan

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_