# Matematyka — zadanie 10

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2013/zad/10
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · listopad 2013 (podstawowa)
- rok: 2013
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Wyrażenia algebraiczne

## Treść

Wielomian \(W(x)\) jest stopnia czwartego. Pierwiastkiem dwukrotnym tego wielomianu jest liczba \(-1\). Po rozłożeniu na czynniki wielomian ten może być postaci:

## Rozwiązanie — sprawnamatura

# Analiza warunków zadania

Wielomian $W(x)$ musi spełniać dwa warunki:
1. Jest stopnia czwartego
2. Liczba $-1$ jest jego pierwiastkiem **dwukrotnym**

Jeśli $-1$ jest pierwiastkiem dwukrotnym, to w rozkładzie na czynniki musi wystąpić czynnik $(x+1)^2$.

# Sprawdzenie kolejnych opcji

**Opcja A:** $-2(x-1)^2(x^2+1)$

Stopień wielomianu: $2 + 2 = 4$ ✓

Pierwiastki:
- $(x-1)^2 = 0 \Rightarrow x = 1$ (dwukrotny)
- $(x^2+1) = 0 \Rightarrow x^2 = -1$ (brak rzeczywistych pierwiastków)

Liczba $-1$ **nie jest** pierwiastkiem. ✗

**Opcja B:** $(x+1)^2(x-4)$

Stopień wielomianu: $2 + 1 = 3$ 

To wielomian stopnia trzeciego, nie czwartego. ✗

**Opcja C:** $-(x+1)^2(x^2+3)$

Stopień wielomianu: $2 + 2 = 4$ ✓

Pierwiastki:
- $(x+1)^2 = 0 \Rightarrow x = -1$ (dwukrotny) ✓
- $(x^2+3) = 0 \Rightarrow x^2 = -3$ (brak rzeczywistych pierwiastków)

Liczba $-1$ jest pierwiastkiem dwukrotnym. ✓

**Opcja D:** $(x-1)(x+1)(x+2)(x-3)$

Stopień wielomianu: $1 + 1 + 1 + 1 = 4$ ✓

Pierwiastki: $x = 1, -1, -2, 3$ (wszystkie **jednokrotne**)

Liczba $-1$ jest pierwiastkiem jednokrotnym, nie dwukrotnym. ✗

# Weryfikacja odpowiedzi C

Wielomian $-(x+1)^2(x^2+3)$:
- Ma stopień 4 ✓
- Ma czynnik $(x+1)^2$, więc $-1$ jest pierwiastkiem dwukrotnym ✓
- Czynnik $(x^2+3)$ jest zawsze dodatni, więc nie daje innych rzeczywistych pierwiastków

**Odpowiedź: C**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** C

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2013/zad/10)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2013%2Fzad%2F10)

## Podobne zadania

- [Zadanie 2](https://matura.lol/question/matematyka-2008-marzec-probna-podstawowa/zad/2) — Zadanie 2. (6 pkt) Dany jest wielomian ( ) 3 2 2 9 18 W x x x x a) Wyznacz pierwiastki tego wielomianu. b) Sprawdź, czy wielomiany ( ) W x i ( ) ( )( ) ( )( ) 2
- [Zadanie 6](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/6) — Zadanie 6. (5 pkt) Wielomian określony wzorem ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 2 11 2 2 1 W x x m x x m jest podzielny przez dwumian ( ) 2 x - oraz przy dzieleniu przez dwum
- [Zadanie 2](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/2) — Zadanie 2. (5 pkt) Dany jest wielomian ( ) 3 2 2 13 W x x ax x b + . Liczba 3 jest jednym z pierwiastków tego wielomianu. Reszta z dzielenia wielomianu ( ) W x 
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa/zad/11) — Zadanie 11. (5 pkt) Dane są wielomiany OQ(x)=x* - x? +2 i S(x)=-2x7 -2x+4. a. Sprawdź, czy liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu Q(x). b. Wielomian P(x) jest s

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_