# Matematyka — zadanie 16

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2013/zad/16
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · listopad 2013 (podstawowa)
- rok: 2013
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Planimetria

## Treść

W trójkącie równoramiennym \(ABC\) o wysokościach \(CD\) i \(AE\) podstawa \(AB\) ma długość \(8\) cm, a odcinek \(BE\) ma długość \(3\) cm. Długość odcinka \(AC\) jest równa:

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Oznacza się wierzchołki i dane:
- Trójkąt \(ABC\) jest równoramienny
- \(AB = 8\) cm (podstawa)
- \(CD\) i \(AE\) są wysokościami
- \(BE = 3\) cm

**Krok 1: Ustalenie, które boki są równe**

Skoro \(AB\) jest podstawą trójkąta równoramiennego, to ramiona są równe: \(AC = BC\).

**Krok 2: Analiza wysokości \(AE\)**

Wysokość \(AE\) opuszczona jest z wierzchołka \(A\) na bok \(BC\), więc \(E \in BC\) i \(AE \perp BC\).

Ponieważ \(BE = 3\) cm, to:
$$EC = BC - BE = BC - 3$$

**Krok 3: Wykorzystanie twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(ABE\)**

W trójkącie prostokątnym \(ABE\) (gdzie \(\angle AEB = 90°\)):
$$AB^2 = AE^2 + BE^2$$
$$64 = AE^2 + 9$$
$$AE^2 = 55$$
$$AE = \sqrt{55}$$

**Krok 4: Wykorzystanie twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(AEC\)**

W trójkącie prostokątnym \(AEC\) (gdzie \(\angle AEC = 90°\)):
$$AC^2 = AE^2 + EC^2$$
$$AC^2 = 55 + EC^2$$

**Krok 5: Wyrażenie \(EC\) przez \(AC\)**

Ponieważ \(AC = BC\) i \(EC = BC - 3\), mamy:
$$EC = AC - 3$$

**Krok 6: Podstawienie do równania**

$$AC^2 = 55 + (AC - 3)^2$$
$$AC^2 = 55 + AC^2 - 6AC + 9$$
$$0 = 64 - 6AC$$
$$6AC = 64$$
$$AC = \frac{64}{6} = \frac{32}{3} \text{ cm}$$

**Weryfikacja:**
- \(AC = BC = \frac{32}{3}\) cm
- \(EC = \frac{32}{3} - 3 = \frac{23}{3}\) cm
- Sprawdzenie: \(AC^2 = 55 + EC^2 \Rightarrow \left(\frac{32}{3}\right)^2 = 55 + \left(\frac{23}{3}\right)^2\)
- \(\frac{1024}{9} = 55 + \frac{529}{9} = \frac{495 + 529}{9} = \frac{1024}{9}\) ✓

**Odpowiedź: B**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** B

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2013/zad/16)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2013%2Fzad%2F16)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (10 pkt) W trójkącie jeden z kątów ma miarę ° 120 . Długości boków tego trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, którego suma wynosi 30.
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-podstawowa/zad/10) — W trapezie opisanym na okręgu kąty przy dłuższej podstawie mają miary \(60^{\circ}\) i \(30^{\circ}\), a długość wysokości tego trapezu jest równa 6. Sporządź o
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/18) — Zadanie 18. (8 pkt) Oblicz miary kątów dowolnego czworokąta wpisanego w okrąg o promieniu 2 5 R , wiedząc ponadto, że jedna z przekątnych tego czworokąta ma dłu
- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w których każda z przekątnych ma długość 10. Niech 𝑥 oznacza długość odcinka łączącego środki ra

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_