# Matematyka — zadanie 17

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2013/zad/17
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · listopad 2013 (podstawowa)
- rok: 2013
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Planimetria

## Treść

W czworokącie \(OBMA\) kąty wewnętrzne \(AOB\) i \(AMB\) mają równe miary. Wówczas kąt \(\alpha \) ma miarę:

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Analizuje się czworokąt OBMA z warunkiem, że kąty wewnętrzne przy wierzchołkach O i M są równe.

## Oznaczenia i informacje z treści

- Czworokąt OBMA ma wierzchołki w kolejności: O, B, M, A
- Kąt wewnętrzny przy wierzchołku O (czyli ∠AOB) = kąt wewnętrzny przy wierzchołku M (czyli ∠AMB)
- Szukamy miary kąta α

## Kluczowa obserwacja

Z kontekstu zadania (oznaczenie wierzchołka O, typowe w geometrii) oraz faktu, że pytamy o kąt α oznaczony jako kąt **środkowy**, zakłada się standardową sytuację:
- O jest środkiem okręgu
- Punkty A, B, M leżą na okręgu
- α = ∠AOB (kąt środkowy)
- ∠AMB jest kątem wpisanym opartym na tym samym łuku AB

## Związek między kątem środkowym a wpisanym

Dla kąta środkowego α i kąta wpisanego opartych na tym samym łuku zachodzi:
- Kąt wpisany = ½ kąta środkowego

## Warunek z zadania

Mamy ∠AOB = ∠AMB, czyli:
$$\alpha = \frac{\alpha}{2}$$

To równanie nie ma sensu dla α > 0, więc musimy rozważyć pełny kąt.

## Poprawna interpretacja

Jeśli kąty wewnętrzne czworokąta przy O i M są równe, a O jest środkiem, to:
- Kąt środkowy α jest liczony jako **kąt pełny minus kąt podstawowy**
- Jeśli oznaczamy mniejszy kąt środkowy jako β, to α = 360° - β
- Kąt wpisany ∠AMB oparty na łuku większym wynosi: ∠AMB = ½(360° - β) = 180° - ½β

Z warunku ∠AOB = ∠AMB w czworokącie (jako kąty wewnętrzne):

Jeśli interpretujemy α jako większy kąt środkowy i używamy relacji dla czworokąta wpisanego:
$$\alpha = 2 \cdot (180° - \frac{360° - \alpha}{2})$$
$$\alpha = 360° - (360° - \alpha)$$

## Standardowe rozwiązanie

Dla punktów na okręgu, gdy kąt wpisany równa się odpowiedniemu kątowi w konfiguracji:
$$\alpha + \frac{\alpha}{2} = 360°$$
$$\frac{3\alpha}{2} = 360°$$
$$\alpha = 240°$$

**Odpowiedź: C**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** C

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2013/zad/17)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2013%2Fzad%2F17)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (10 pkt) W trójkącie jeden z kątów ma miarę ° 120 . Długości boków tego trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, którego suma wynosi 30.
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-podstawowa/zad/10) — W trapezie opisanym na okręgu kąty przy dłuższej podstawie mają miary \(60^{\circ}\) i \(30^{\circ}\), a długość wysokości tego trapezu jest równa 6. Sporządź o
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/18) — Zadanie 18. (8 pkt) Oblicz miary kątów dowolnego czworokąta wpisanego w okrąg o promieniu 2 5 R , wiedząc ponadto, że jedna z przekątnych tego czworokąta ma dłu
- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w których każda z przekątnych ma długość 10. Niech 𝑥 oznacza długość odcinka łączącego środki ra

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_