# Matematyka — zadanie 2

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2013/zad/2
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · listopad 2013 (podstawowa)
- rok: 2013
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Logarytmy

## Treść

Wartość wyrażenia \( \frac{1}{2}\log_{3}\!15-\log_{3}\!\sqrt{5} \) jest równa:

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Przekształca się wyrażenie korzystając z własności logarytmów.

**Krok 1:** Zapisuje się wyrażenie wyjściowe

$$\frac{1}{2}\log_{3}15 - \log_{3}\sqrt{5}$$

**Krok 2:** Stosuje się własność \(a\log_b c = \log_b c^a\) do pierwszego składnika

$$\frac{1}{2}\log_{3}15 = \log_{3}15^{\frac{1}{2}} = \log_{3}\sqrt{15}$$

**Krok 3:** Wyrażenie przyjmuje postać

$$\log_{3}\sqrt{15} - \log_{3}\sqrt{5}$$

**Krok 4:** Stosuje się własność różnicy logarytmów \(\log_b a - \log_b c = \log_b \frac{a}{c}\)

$$\log_{3}\sqrt{15} - \log_{3}\sqrt{5} = \log_{3}\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{5}}$$

**Krok 5:** Upraszcza się ułamek pod logarytmem

$$\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{15}{5}} = \sqrt{3}$$

**Krok 6:** Oblicza się wartość logarytmu

$$\log_{3}\sqrt{3} = \log_{3}3^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}\log_{3}3 = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$$

**Odpowiedź: C**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** C

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2013/zad/2)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2013%2Fzad%2F2)

## Podobne zadania

- [Zadanie 39](https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2025-pp/zad/39) — Czas \(T\) połowicznego rozpadu izotopu promieniotwórczego to czas, po którym liczba jąder danego izotopu (a zatem i masa tego izotopu) zmniejsza się o połowę -
- [Zadanie 6](https://matura.lol/question/matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/6) — Zadanie 6. (0-3) Wykaż, że jeżeli log54 = 𝑎 oraz log43 = 𝑏, to log1280 = 2𝑎 + 1 𝑎 ⋅ (1 + 𝑏) . Wypełnia egzaminator Nr zadania 5. 6. Maks. liczba pkt 2 3 Uzyskan
- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-rozszerzona-pokazowa-marzec-2022/zad/1) — Dane są liczby \(a = \log_2 3\) oraz \(b = \log_3 7\). **Wyraź \(\log_4 49\) za pomocą liczb \(a\) oraz \(b\).** Zapisz obliczenia.
- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-rozszerzona-czerwiec-2026/zad/1) — Dane są liczby rzeczywiste \(a\) oraz \(b\): \[a = 16^{\frac{1}{2} \cdot \log_4 36 - 2 \cdot \log_4 3}\] \[b = \log_2 9 \cdot \log_3 5 \cdot \log_5 8\] Oblicz w

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_