# Matematyka — zadanie 20

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2013/zad/20
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · listopad 2013 (podstawowa)
- rok: 2013
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Planimetria

## Treść

Pole koła wpisanego w trójkąt równoboczny jest równe \(\frac{16}{3}\pi \). Obwód tego trójkąta jest równy:

## Rozwiązanie — sprawnamatura

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2013-20.png]

Szuka się obwodu trójkąta równobocznego, znając pole wpisanego koła.

**Krok 2: Wyznacza się promień okręgu wpisanego**

Pole koła wpisanego:
$$P = \pi r^2 = \frac{16}{3}\pi$$

Dzieli się obie strony przez \(\pi\):
$$r^2 = \frac{16}{3}$$

$$r = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$$

**Krok 3: Przypominam wzór na promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny**

Dla trójkąta równobocznego o boku \(a\), promień okręgu wpisanego wynosi:
$$r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$$

(Wzór wynika z faktu, że wysokość trójkąta to \(h = \frac{a\sqrt{3}}{2}\), a promień okręgu wpisanego to \(\frac{1}{3}\) wysokości)

**Krok 4: Wyznacza się długość boku trójkąta**

Podstawia się wartość \(r\):
$$\frac{4\sqrt{3}}{3} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$$

Mnoży się obie strony przez \(6\):
$$\frac{24\sqrt{3}}{3} = a\sqrt{3}$$

$$8\sqrt{3} = a\sqrt{3}$$

Dzieli się przez \(\sqrt{3}\):
$$a = 8$$

**Krok 5: Oblicza się obwód trójkąta**

Obwód trójkąta równobocznego:
$$O = 3a = 3 \cdot 8 = 24$$

**Odpowiedź: B**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** B

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2013/zad/20)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2013%2Fzad%2F20)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (10 pkt) W trójkącie jeden z kątów ma miarę ° 120 . Długości boków tego trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, którego suma wynosi 30.
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-podstawowa/zad/10) — W trapezie opisanym na okręgu kąty przy dłuższej podstawie mają miary \(60^{\circ}\) i \(30^{\circ}\), a długość wysokości tego trapezu jest równa 6. Sporządź o
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/18) — Zadanie 18. (8 pkt) Oblicz miary kątów dowolnego czworokąta wpisanego w okrąg o promieniu 2 5 R , wiedząc ponadto, że jedna z przekątnych tego czworokąta ma dłu
- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w których każda z przekątnych ma długość 10. Niech 𝑥 oznacza długość odcinka łączącego środki ra

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_