# Matematyka — zadanie 22

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2013/zad/22
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · listopad 2013 (podstawowa)
- rok: 2013
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Geometria analityczna

## Treść

Punkty \(A=(-2,4)\) i \(C=(-6,2)\) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu \(ABCD\). Zatem promień okręgu opisanego na tym kwadracie jest równy:

## Rozwiązanie — sprawnamatura

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2013-22.png]

Szuka się promienia okręgu opisanego na kwadracie ABCD, znając przeciwległe wierzchołki A i C.

**Krok 2: Środek kwadratu**

Przekątne kwadratu przecinają się w jego środku, który jest jednocześnie środkiem okręgu opisanego.

Środek S odcinka AC:
$$S = \left(\frac{-2 + (-6)}{2}, \frac{4 + 2}{2}\right) = \left(\frac{-8}{2}, \frac{6}{2}\right) = (-4, 3)$$

**Krok 3: Długość przekątnej**

Oblicza się odległość między punktami A i C (długość przekątnej kwadratu):
$$|AC| = \sqrt{(-6-(-2))^2 + (2-4)^2}$$
$$|AC| = \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2}$$
$$|AC| = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$

**Krok 4: Promień okręgu opisanego**

Promień okręgu opisanego na kwadracie równa się połowie długości przekątnej (odległość od środka kwadratu do wierzchołka):

$$r = \frac{|AC|}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}$$

**Sprawdzenie:** Można też obliczyć wprost odległość od środka S do wierzchołka A:
$$r = |SA| = \sqrt{(-2-(-4))^2 + (4-3)^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$$

**Odpowiedź: C**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** C

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2013/zad/22)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2013%2Fzad%2F22)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Okrąg 𝑜1 o środku w punkcie 𝑆1 jest określony równaniem (𝑥-6)2 + (𝑦+ 1)2 = 16. Okrąg 𝑜2 ma środek w punkcie 𝑆2 takim, że 𝑆1𝑆2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [-4, 4
- [Zadanie 13](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-rozszerzona-czerwiec-2026/zad/13) — W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne \(ABC\), w których \(C = (0, 0)\), wierzchołek \(B\) leży na dodatnie
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest równoległobok 𝐴𝐵𝐶𝐷 o wierzchołkach 𝐴= (-8, -1) i 𝐷= (-13, 9) oraz środku symetrii 𝑀= (
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) prosta o równaniu 3𝑥+ 𝑦+ 2 = 0 przecina parabolę o równaniu 𝑦= 𝑥2 -2𝑥-8 w punktach 𝐴 oraz 𝐵, któ

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_