# Matematyka — zadanie 27

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2013/zad/27
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · listopad 2013 (podstawowa)
- rok: 2013
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Planimetria

## Treść

Wykaż, że trapez, w którym przekątne dzielą kąty przy dłuższej podstawie na połowy, jest równoramienny.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2013-27.png]

# Dowód

Rozważmy trapez ABCD, gdzie AB || CD, przy czym AB jest dłuższą podstawą.

Załóżmy, że przekątne AC i BD dzielą kąty przy podstawie AB na połowy, tzn.:
- $$\angle CAB = \angle CAD$$
- $$\angle DBA = \angle DBC$$

Oznaczmy punkt przecięcia przekątnych jako P.

## Krok 2: Analiza kątów przy wierzchołku A

Ponieważ AC dzieli kąt DAB na połowy:
$$\angle CAB = \angle CAD$$

Z równoległości AB || CD wynika, że:
$$\angle CAB = \angle ACD$$ (kąty naprzemianległe)

Zatem:
$$\angle CAD = \angle ACD$$

## Krok 3: Wniosek o trójkącie ACD

W trójkącie ACD mamy:
$$\angle CAD = \angle ACD$$

Trójkąt o dwóch równych kątach jest równoramienny, więc:
$$AD = CD$$

## Krok 4: Analiza kątów przy wierzchołku B

Analogicznie, ponieważ BD dzieli kąt ABC na połowy:
$$\angle DBA = \angle DBC$$

Z równoległości AB || CD:
$$\angle DBA = \angle BDC$$ (kąty naprzemianległe)

Zatem:
$$\angle DBC = \angle BDC$$

## Krok 5: Wniosek o trójkącie BCD

W trójkącie BCD mamy:
$$\angle DBC = \angle BDC$$

Trójkąt o dwóch równych kątach jest równoramienny, więc:
$$BC = CD$$

## Krok 6: Wniosek końcowy

Z kroków 2 i 4 otrzymujemy:
$$AD = CD = BC$$

Zatem:
$$AD = BC$$

Trapez, w którym ramiona są równej długości, jest **trapezem równoramiennym**.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2013/zad/27)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2013%2Fzad%2F27)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (10 pkt) W trójkącie jeden z kątów ma miarę ° 120 . Długości boków tego trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, którego suma wynosi 30.
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-podstawowa/zad/10) — W trapezie opisanym na okręgu kąty przy dłuższej podstawie mają miary \(60^{\circ}\) i \(30^{\circ}\), a długość wysokości tego trapezu jest równa 6. Sporządź o
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/18) — Zadanie 18. (8 pkt) Oblicz miary kątów dowolnego czworokąta wpisanego w okrąg o promieniu 2 5 R , wiedząc ponadto, że jedna z przekątnych tego czworokąta ma dłu
- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w których każda z przekątnych ma długość 10. Niech 𝑥 oznacza długość odcinka łączącego środki ra

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_