# Matematyka — zadanie 28

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2013/zad/28
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · listopad 2013 (podstawowa)
- rok: 2013
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Trygonometria

## Treść

Maszt telekomunikacyjny rzuca cień, który jest \(2\) razy krótszy niż wysokość masztu. Oblicz cosinus kąta, pod jakim padają promienie słoneczne.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2013-28.png]

Oznaczmy:
- \(h\) – wysokość masztu
- \(d\) – długość cienia
- \(\alpha\) – kąt padania promieni słonecznych (kąt między promieniem a poziomem)

## Analiza sytuacji

Z treści zadania wiemy, że cień jest 2 razy krótszy niż wysokość masztu:
$$d = \frac{h}{2}$$

## Rysunek sytuacji

Promienie słoneczne, maszt i cień tworzą trójkąt prostokątny, gdzie:
- przyprostokątna pionowa (maszt) ma długość \(h\)
- przyprostokątna pozioma (cień) ma długość \(d = \frac{h}{2}\)
- kąt \(\alpha\) jest przy podstawie cienia (między promieniem słonecznym a poziomem)

## Obliczenie cosinusa

W trójkącie prostokątnym:
$$\tan \alpha = \frac{h}{d} = \frac{h}{\frac{h}{2}} = 2$$

Aby obliczyć \(\cos \alpha\), wykorzystamy tożsamość trygonometryczną:
$$1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$$

Podstawiamy \(\tan \alpha = 2\):
$$1 + 2^2 = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$$

$$1 + 4 = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$$

$$5 = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$$

$$\cos^2 \alpha = \frac{1}{5}$$

Ponieważ \(\alpha\) jest kątem ostrym (promienie padają z góry), to \(\cos \alpha > 0\):
$$\cos \alpha = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$

## Odpowiedź

$$\cos \alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}$$

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(\cos \alpha =\frac{\sqrt{5}}{5}\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2013/zad/28)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2013%2Fzad%2F28)

## Podobne zadania

- [Zadanie 17](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/17) — Zadanie 17. (8 pkt) Rozwiąż równanie: x x x cos 4 ctg 2 sin 2 dla π 2 ,0 ∈ x . Ze zbioru rozwiązań tego równania losujemy bez zwracania dwie liczby. Oblicz praw
- [Zadanie 16](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/16) — Zadanie 16. (7 pkt) Dane jest równanie postaci ( ) ( ) cos 1 cos 1 0 ⋅ x x p , gdzie R p ∈ jest parametrem. a) Dla 1 p wypisz wszystkie rozwiązania tego równani
- [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/9) — Zadanie 9. (0-5) Rozwiąż równanie 𝟑𝐜𝐨𝐬𝟐𝒙+ √𝟑𝐬𝐢𝐧(𝟐𝒙) -𝟑𝐬𝐢𝐧𝟐𝒙= 𝟎 w przedziale [-𝝅, 𝝅]. Zapisz obliczenia. 9. 0-1- 2-3- 4-5 MMAP-R0_100 MMAP-R0_100 Rozwiąż równani
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-5) Rozwiąż równanie 3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 w przedziale 〈-𝜋, 𝜋〉. EMAP-R0_100 Wypełnia egzaminator Nr zadania 12. Maks. liczba pkt 5 Uzyskan

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_