# Matematyka — zadanie 29

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2013/zad/29
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · listopad 2013 (podstawowa)
- rok: 2013
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Planimetria

## Treść

Dwa okręgi są styczne zewnętrznie. Odległość ich środków jest równa \(8\) cm. Gdyby te okręgi były styczne wewnętrznie, to odległość ich środków byłaby równa \(2\) cm. Oblicz długości promieni tych okręgów.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2013-29.png]

Oznaczmy promienie dwóch okręgów przez \(r_1\) i \(r_2\), gdzie \(r_1 > r_2\).

## Warunek dla okręgów stycznych zewnętrznie

Gdy dwa okręgi są styczne zewnętrznie, odległość ich środków jest równa sumie promieni:

$$d_1 = r_1 + r_2$$

Z treści zadania wiemy, że \(d_1 = 8\) cm, zatem:

$$r_1 + r_2 = 8$$

## Warunek dla okręgów stycznych wewnętrznie

Gdy dwa okręgi są styczne wewnętrznie (jeden okrąg jest wewnątrz drugiego), odległość ich środków jest równa różnicy promieni:

$$d_2 = r_1 - r_2$$

Z treści zadania wiemy, że \(d_2 = 2\) cm, zatem:

$$r_1 - r_2 = 2$$

## Rozwiązanie układu równań

Mamy układ dwóch równań:

$$\begin{cases}
r_1 + r_2 = 8 \\
r_1 - r_2 = 2
\end{cases}$$

Dodajemy równania stronami:

$$(r_1 + r_2) + (r_1 - r_2) = 8 + 2$$

$$2r_1 = 10$$

$$r_1 = 5 \text{ cm}$$

Podstawiamy \(r_1 = 5\) do pierwszego równania:

$$5 + r_2 = 8$$

$$r_2 = 3 \text{ cm}$$

## Sprawdzenie

- Styczne zewnętrznie: \(r_1 + r_2 = 5 + 3 = 8\) ✓
- Styczne wewnętrznie: \(r_1 - r_2 = 5 - 3 = 2\) ✓

**Odpowiedź:** Promienie okręgów wynoszą \(r_1 = 5\) cm i \(r_2 = 3\) cm.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(r_1=5\), \(r_2=3\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2013/zad/29)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2013%2Fzad%2F29)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (10 pkt) W trójkącie jeden z kątów ma miarę ° 120 . Długości boków tego trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, którego suma wynosi 30.
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-podstawowa/zad/10) — W trapezie opisanym na okręgu kąty przy dłuższej podstawie mają miary \(60^{\circ}\) i \(30^{\circ}\), a długość wysokości tego trapezu jest równa 6. Sporządź o
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/18) — Zadanie 18. (8 pkt) Oblicz miary kątów dowolnego czworokąta wpisanego w okrąg o promieniu 2 5 R , wiedząc ponadto, że jedna z przekątnych tego czworokąta ma dłu
- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w których każda z przekątnych ma długość 10. Niech 𝑥 oznacza długość odcinka łączącego środki ra

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_