# Matematyka — zadanie 30

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2013/zad/30
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · listopad 2013 (podstawowa)
- rok: 2013
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Geometria analityczna

## Treść

Dany jest trójkąt \(ABC\), gdzie \(A=(-3,-2)\), \(B=(1,-1)\), \(C=(-1,4)\). Wyznacz równanie symetralnej boku \(AC\) tego trójkąta.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2013-30.png]

Wyznacza się równanie symetralnej boku \(AC\).

**Krok 2: Znajdowanie środka odcinka \(AC\)**

Środek odcinka \(AC\) to punkt \(S\), którego współrzędne oblicza się ze wzoru:

$$S = \left(\frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}\right)$$

$$S = \left(\frac{-3 + (-1)}{2}, \frac{-2 + 4}{2}\right) = \left(\frac{-4}{2}, \frac{2}{2}\right) = (-2, 1)$$

**Krok 3: Wyznaczanie współczynnika kierunkowego boku \(AC\)**

Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty \(A\) i \(C\):

$$a_{AC} = \frac{y_C - y_A}{x_C - x_A} = \frac{4 - (-2)}{-1 - (-3)} = \frac{6}{2} = 3$$

**Krok 4: Wyznaczanie współczynnika kierunkowego symetralnej**

Symetralna jest prostopadła do boku \(AC\). Dla prostych prostopadłych zachodzi warunek:

$$a_{sym} \cdot a_{AC} = -1$$

$$a_{sym} \cdot 3 = -1$$

$$a_{sym} = -\frac{1}{3}$$

**Krok 5: Zapisanie równania symetralnej**

Symetralna przechodzi przez punkt \(S = (-2, 1)\) i ma współczynnik kierunkowy \(a = -\frac{1}{3}\).

Używa się wzoru \(y - y_0 = a(x - x_0)\):

$$y - 1 = -\frac{1}{3}(x - (-2))$$

$$y - 1 = -\frac{1}{3}(x + 2)$$

$$y - 1 = -\frac{1}{3}x - \frac{2}{3}$$

$$y = -\frac{1}{3}x - \frac{2}{3} + 1$$

$$y = -\frac{1}{3}x + \frac{1}{3}$$

**Odpowiedź:** $$y = -\frac{1}{3}x + \frac{1}{3}$$

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(y=-\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2013/zad/30)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2013%2Fzad%2F30)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Okrąg 𝑜1 o środku w punkcie 𝑆1 jest określony równaniem (𝑥-6)2 + (𝑦+ 1)2 = 16. Okrąg 𝑜2 ma środek w punkcie 𝑆2 takim, że 𝑆1𝑆2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [-4, 4
- [Zadanie 13](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-rozszerzona-czerwiec-2026/zad/13) — W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne \(ABC\), w których \(C = (0, 0)\), wierzchołek \(B\) leży na dodatnie
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest równoległobok 𝐴𝐵𝐶𝐷 o wierzchołkach 𝐴= (-8, -1) i 𝐷= (-13, 9) oraz środku symetrii 𝑀= (
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) prosta o równaniu 3𝑥+ 𝑦+ 2 = 0 przecina parabolę o równaniu 𝑦= 𝑥2 -2𝑥-8 w punktach 𝐴 oraz 𝐵, któ

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_