# Matematyka — zadanie 31

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2013/zad/31
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · listopad 2013 (podstawowa)
- rok: 2013
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 4
- działy: Ciągi

## Treść

Uczeń przygotowujący się do matury w ciągu pierwszego tygodnia rozwiązał \(5\) zadań. Postanowił jednak, że w każdym następnym tygodniu będzie rozwiązywał o \(2\) zadania więcej niż w poprzednim tygodniu. W którym tygodniu liczba zadań rozwiązanych przez niego od początku nauki przekroczy \(480\)?

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Analizuje się problem dotyczący ciągu arytmetycznego.

## Dane z zadania

- Pierwszy tydzień: \(a_1 = 5\) zadań
- Każdy następny tydzień o \(2\) zadania więcej: \(r = 2\)
- Szukamy tygodnia \(n\), w którym suma wszystkich rozwiązanych zadań przekroczy \(480\)

## Ustalenie wzoru

Liczba zadań w kolejnych tygodniach tworzy ciąg arytmetyczny:
$$a_n = a_1 + (n-1) \cdot r = 5 + (n-1) \cdot 2 = 5 + 2n - 2 = 3 + 2n$$

## Suma zadań po n tygodniach

Suma \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:
$$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$

Podstawia się:
$$S_n = \frac{n(5 + 3 + 2n)}{2} = \frac{n(8 + 2n)}{2} = \frac{2n(4 + n)}{2} = n(4 + n) = n^2 + 4n$$

## Rozwiązanie nierówności

Szuka się najmniejszego \(n\), dla którego:
$$S_n > 480$$

$$n^2 + 4n > 480$$

$$n^2 + 4n - 480 > 0$$

Rozwiązuje się równanie kwadratowe \(n^2 + 4n - 480 = 0\):

$$\Delta = 16 + 4 \cdot 480 = 16 + 1920 = 1936$$

$$\sqrt{\Delta} = \sqrt{1936} = 44$$

$$n = \frac{-4 \pm 44}{2}$$

$$n_1 = \frac{-4 + 44}{2} = \frac{40}{2} = 20 \quad \text{lub} \quad n_2 = \frac{-4 - 44}{2} = -24$$

Ponieważ \(n > 0\), rozważam tylko \(n_1 = 20\).

## Sprawdzenie

Dla \(n = 20\):
$$S_{20} = 20^2 + 4 \cdot 20 = 400 + 80 = 480$$

Dla \(n = 21\):
$$S_{21} = 21^2 + 4 \cdot 21 = 441 + 84 = 525$$

## Wniosek

Po \(20\) tygodniach uczeń rozwiąże dokładnie \(480\) zadań.

W **21. tygodniu** liczba rozwiązanych zadań po raz pierwszy przekroczy \(480\) (wyniesie \(525\)).

**Odpowiedź: 21**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(21\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2013/zad/31)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2013%2Fzad%2F31)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (7 pkt) Nieskończony ciąg geometryczny ( ) n a jest zdefiniowany wzorem rekurencyjnym: ), 2 ( log ,2 2 1 1 ⋅ k a a a n n dla każdej liczby naturalne
- [Zadanie 20](https://matura.lol/question/matematyka-2004-styczen-probna-rozszerzona/zad/20) — Zadanie 20. (7 pkt) Różnica ciągu arytmetycznego (an) jest liczbą mniejszą od 1. Wyznacz najmniejszą wartość wyrażenia 50 49 1 a a a ⋅ wiedząc, że 1 51 = a
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-6) Trzywyrazowy ciąg ( ) , , a b c o wyrazach dodatnich jest arytmetyczny, natomiast ciąg 1 2 1 , , 3 2 2 a b a b c       jest geometryczny
- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/4) — Zadanie 4. (6 pkt) Liczby a, b, c są - odpowiednio - pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg ( ) 2, , 2 1 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_