# Matematyka — zadanie 33

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2013/zad/33
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · listopad 2013 (podstawowa)
- rok: 2013
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 5
- działy: Równania i nierówności

## Treść

Ojciec i syn zbierają jabłka. Razem zebranie wszystkich jabłek zajęło im \(6\) godzin. Gdyby ojciec zbierał jabłka sam, to zajęłoby mu to o \(5\) godzin mniej, niż gdyby zbierał je sam jego syn. W jakim czasie ojciec sam zebrałby wszystkie jabłka?

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Oznaczmy czas, w jakim ojciec sam zebrałby wszystkie jabłka jako \(x\) godzin.

**Krok 1: Określenie czasów pracy**

- Ojciec sam zebrałby jabłka w \(x\) godzin
- Syn sam zebrałby jabłka w \(x + 5\) godzin (bo zajęłoby mu to o 5 godzin więcej)

**Krok 2: Określenie wydajności pracy**

Jeśli przyjmiemy, że całość pracy to "1", to:
- Wydajność ojca: \(\frac{1}{x}\) pracy na godzinę
- Wydajność syna: \(\frac{1}{x+5}\) pracy na godzinę

**Krok 3: Wydajność wspólnej pracy**

Pracując razem, ich wydajności się sumują:

$$\text{Wydajność wspólna} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x+5}$$

**Krok 4: Równanie na podstawie czasu wspólnej pracy**

Razem zebrali wszystkie jabłka w 6 godzin, więc:

$$6 \cdot \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5}\right) = 1$$

**Krok 5: Rozwiązanie równania**

$$\frac{6}{x} + \frac{6}{x+5} = 1$$

Mnożymy obie strony przez \(x(x+5)\):

$$6(x+5) + 6x = x(x+5)$$

$$6x + 30 + 6x = x^2 + 5x$$

$$12x + 30 = x^2 + 5x$$

$$0 = x^2 - 7x - 30$$

**Krok 6: Rozwiązanie równania kwadratowego**

$$x^2 - 7x - 30 = 0$$

Obliczamy deltę:
$$\Delta = 49 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169$$

$$\sqrt{\Delta} = 13$$

$$x = \frac{7 \pm 13}{2}$$

Otrzymujemy dwa rozwiązania:
- \(x_1 = \frac{7 + 13}{2} = \frac{20}{2} = 10\)
- \(x_2 = \frac{7 - 13}{2} = \frac{-6}{2} = -3\)

**Krok 7: Wybór odpowiedzi**

Czas nie może być ujemny, więc \(x = 10\).

**Sprawdzenie:**
- Ojciec zbiera sam w 10 godzin, syn w 15 godzin
- Wspólna wydajność: \(\frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{3+2}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}\) pracy na godzinę
- Czas wspólnej pracy: \(6\) godzin ✓

**Odpowiedź: Ojciec sam zebrałby wszystkie jabłka w 10 godzin.**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** w \(10\) godzin

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2013/zad/33)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2013%2Fzad%2F33)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2005-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (10 pkt) Dane jest równanie: ( ) 0 4 1 5 2 2 m m x m x Zbadaj, dla jakich wartości parametru m stosunek sumy pierwiastków rzeczywistych równania do 
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/18) — Zadanie 18. (10 pkt) Rozwiąż nierówność ( ) 9 ,0 2 8 1 4 1 2 1 > x x x x , gdzie lewa strona tej nierówności jest sumą nieskończonego ciągu geometrycznego. 9 Ar
- [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-podstawowa/zad/9) — Dane są zbiory liczb rzeczywistych: \(A = \left\{ x : \frac{3}{x} \leq 1 \right\}\) i \(B = \left\{ x : |x+1| < 3 \right\}\). a) Zaznacz te zbiory na osi liczbo
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-6) Wyznacz wszystkie wartości parametru 𝒎, dla których równanie (𝟑-𝒎) ⋅𝒙𝟐+ (𝒎+ 𝟏) ⋅𝒙-(𝒎+ 𝟏)𝟐= 𝟎 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste 𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 speł

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_