# Matematyka — zadanie 14

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2017/zad/14
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · listopad 2017 (podstawowa)
- rok: 2017
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Planimetria

## Treść

W trójkącie prostokątnym \(ABC\) przyprostokątne różnią się o \(4\), a jeden z kątów ma miarę \(30^\circ \). Krótsza przyprostokątna tego trójkąta ma długość:

## Rozwiązanie — sprawnamatura

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2017-14.png]

Oznaczmy krótszą przyprostokątną przez \(a\), a dłuższą przez \(b\).

**Dane:**
- Przyprostokątne różnią się o 4: \(b = a + 4\)
- Jeden z kątów ostrych ma miarę \(30°\)

**Krok 2: Ustalenie konfiguracji kątów**

W trójkącie prostokątnym z kątem prostym \(90°\) i kątem ostrym \(30°\), trzeci kąt ma miarę:
$$90° + 30° + \alpha = 180° \implies \alpha = 60°$$

**Krok 3: Relacje w trójkącie 30-60-90**

Krótsza przyprostokątna leży naprzeciwko mniejszego kąta ostrego (\(30°\)), dłuższa naprzeciwko większego (\(60°\)).

Wykorzystamy tangens:
$$\tan(30°) = \frac{a}{b}$$

Wiemy, że \(\tan(30°) = \frac{\sqrt{3}}{3}\), więc:
$$\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{a}{b}$$

**Krok 4: Podstawienie \(b = a + 4\)**

$$\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{a}{a + 4}$$

Mnożymy obie strony przez \(3(a + 4)\):
$$\sqrt{3}(a + 4) = 3a$$

$$\sqrt{3} \cdot a + 4\sqrt{3} = 3a$$

$$4\sqrt{3} = 3a - \sqrt{3} \cdot a$$

$$4\sqrt{3} = a(3 - \sqrt{3})$$

**Krok 5: Rozwiązanie równania**

$$a = \frac{4\sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$$

Mnożymy licznik i mianownik przez \(3 + \sqrt{3}\) (sprzężenie):
$$a = \frac{4\sqrt{3}(3 + \sqrt{3})}{(3 - \sqrt{3})(3 + \sqrt{3})}$$

$$a = \frac{4\sqrt{3} \cdot 3 + 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{9 - 3}$$

$$a = \frac{12\sqrt{3} + 4 \cdot 3}{6}$$

$$a = \frac{12\sqrt{3} + 12}{6}$$

$$a = \frac{12(\sqrt{3} + 1)}{6}$$

$$a = 2(\sqrt{3} + 1) = 2\sqrt{3} + 2$$

**Odpowiedź: D**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** D

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2017/zad/14)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2017%2Fzad%2F14)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (10 pkt) W trójkącie jeden z kątów ma miarę ° 120 . Długości boków tego trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, którego suma wynosi 30.
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-podstawowa/zad/10) — W trapezie opisanym na okręgu kąty przy dłuższej podstawie mają miary \(60^{\circ}\) i \(30^{\circ}\), a długość wysokości tego trapezu jest równa 6. Sporządź o
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/18) — Zadanie 18. (8 pkt) Oblicz miary kątów dowolnego czworokąta wpisanego w okrąg o promieniu 2 5 R , wiedząc ponadto, że jedna z przekątnych tego czworokąta ma dłu
- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w których każda z przekątnych ma długość 10. Niech 𝑥 oznacza długość odcinka łączącego środki ra

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_