# Matematyka — zadanie 17

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2017/zad/17
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · listopad 2017 (podstawowa)
- rok: 2017
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Trygonometria

## Treść

Dany jest trójkąt \(ABC\) o bokach długości \(4\) i \(6\) . Pole tego trójkąta jest równe \(3\sqrt{15}\). Oznacza to, że jeśli kąt między bokami o długościach \(4\) i \(6\) ma miarę \(\alpha \gt 90^\circ \), to:

## Rozwiązanie — sprawnamatura

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2017-17.png]

Dane:
- Boki trójkąta: \(a = 4\) i \(b = 6\)
- Pole trójkąta: \(P = 3\sqrt{15}\)
- Kąt \(\alpha\) między tymi bokami, \(\alpha > 90°\)

**Krok 2: Wykorzystanie wzoru na pole trójkąta**

Pole trójkąta można wyrazić wzorem:
$$P = \frac{1}{2}ab\sin\alpha$$

Podstawiamy dane:
$$3\sqrt{15} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 \cdot \sin\alpha$$

$$3\sqrt{15} = 12\sin\alpha$$

$$\sin\alpha = \frac{3\sqrt{15}}{12} = \frac{\sqrt{15}}{4}$$

**Krok 3: Znajdowanie \(\cos\alpha\) z jedynki trygonometrycznej**

Korzystamy z tożsamości:
$$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$$

$$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right)^2$$

$$\cos^2\alpha = 1 - \frac{15}{16} = \frac{1}{16}$$

$$\cos\alpha = \pm\frac{1}{4}$$

**Krok 4: Wybór właściwego znaku**

Z warunku zadania wiemy, że \(\alpha > 90°\), czyli kąt jest rozwarty.

Dla kąta rozwartego (z II ćwiartki układu współrzędnych):
- \(\sin\alpha > 0\) ✓ (co zgadza się z \(\sin\alpha = \frac{\sqrt{15}}{4} > 0\))
- \(\cos\alpha < 0\)

Dlatego:
$$\cos\alpha = -\frac{1}{4}$$

**Odpowiedź: D**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** D

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2017/zad/17)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2017%2Fzad%2F17)

## Podobne zadania

- [Zadanie 17](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/17) — Zadanie 17. (8 pkt) Rozwiąż równanie: x x x cos 4 ctg 2 sin 2 dla π 2 ,0 ∈ x . Ze zbioru rozwiązań tego równania losujemy bez zwracania dwie liczby. Oblicz praw
- [Zadanie 16](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/16) — Zadanie 16. (7 pkt) Dane jest równanie postaci ( ) ( ) cos 1 cos 1 0 ⋅ x x p , gdzie R p ∈ jest parametrem. a) Dla 1 p wypisz wszystkie rozwiązania tego równani
- [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/9) — Zadanie 9. (0-5) Rozwiąż równanie 𝟑𝐜𝐨𝐬𝟐𝒙+ √𝟑𝐬𝐢𝐧(𝟐𝒙) -𝟑𝐬𝐢𝐧𝟐𝒙= 𝟎 w przedziale [-𝝅, 𝝅]. Zapisz obliczenia. 9. 0-1- 2-3- 4-5 MMAP-R0_100 MMAP-R0_100 Rozwiąż równani
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-5) Rozwiąż równanie 3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 w przedziale 〈-𝜋, 𝜋〉. EMAP-R0_100 Wypełnia egzaminator Nr zadania 12. Maks. liczba pkt 5 Uzyskan

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_