# Matematyka — zadanie 2

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2017/zad/2
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · listopad 2017 (podstawowa)
- rok: 2017
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Potęgi i pierwiastki

## Treść

Liczba \(a=\frac{14\sqrt{2}}{\sqrt{2}-3}\) należy do przedziału:

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Trzeba obliczyć wartość wyrażenia \(a=\frac{14\sqrt{2}}{\sqrt{2}-3}\) i określić, do którego przedziału należy.

## Krok 1: Usunięcie niewymierności z mianownika

Mnoży się licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną do mianownika, czyli przez \(\sqrt{2}+3\):

$$a = \frac{14\sqrt{2}}{\sqrt{2}-3} \cdot \frac{\sqrt{2}+3}{\sqrt{2}+3}$$

## Krok 2: Obliczenie mianownika

Wykorzystuje się wzór skróconego mnożenia \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\):

$$(\sqrt{2}-3)(\sqrt{2}+3) = (\sqrt{2})^2 - 3^2 = 2 - 9 = -7$$

## Krok 3: Obliczenie licznika

$$14\sqrt{2} \cdot (\sqrt{2}+3) = 14\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} + 14\sqrt{2} \cdot 3$$

$$= 14 \cdot 2 + 42\sqrt{2} = 28 + 42\sqrt{2}$$

## Krok 4: Uproszczenie ułamka

$$a = \frac{28 + 42\sqrt{2}}{-7} = \frac{28}{-7} + \frac{42\sqrt{2}}{-7}$$

$$a = -4 - 6\sqrt{2}$$

## Krok 5: Określenie wartości liczbowej

Wiadomo, że \(\sqrt{2} \approx 1{,}414\), więc:

$$a = -4 - 6\sqrt{2} \approx -4 - 6 \cdot 1{,}414 = -4 - 8{,}484 = -12{,}484$$

## Krok 6: Dokładniejsze oszacowanie

Aby dokładnie określić przedział, sprawdza się:
- Czy \(a \geq -13\)?
- Czy \(a  8 \iff \sqrt{2} > \frac{4}{3} \approx 1{,}333$$

To jest prawda, bo \(\sqrt{2} \approx 1{,}414 > 1{,}333\).

Zatem \(-13 \leq a < -12\).

**Odpowiedź: B**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** B

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2017/zad/2)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2017%2Fzad%2F2)

## Podobne zadania

- [Zadanie 105](https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-pp-treningowe/zad/105) — Wykaż, że prawdziwa jest nierówność \(\sqrt{2^{50} + 1} + \sqrt{2^{50} - 1} \lt 2^{26}\).
- [Zadanie 47](https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2025-pp/zad/47) — Wierzchołki \(A\) i \(C\) trójkąta \(ABC\) leżą na okręgu o promieniu \(r\). Środek \(S\) tego okręgu leży na boku \(AB\) tego trójkąta (zobacz rysunek poniżej)
- [Zadanie 34](https://matura.lol/question/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad/34) — Zadanie 34. (0-4) Dany jest trójkąt rozwartokątny ABC, w którym ACB  ma miarę 120°. Ponadto wiadomo, że 10 BC = i 10 7 AB = (zobacz rysunek). Oblicz długość tr
- [Zadanie 7](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2024/zad/7) — Rozwiąż równanie \[ x^{3}+5 x^{2}-2 x-10=0 \] Zapisz obliczenia.

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_