# Matematyka — zadanie 20

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2017/zad/20
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · listopad 2017 (podstawowa)
- rok: 2017
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Ciągi

## Treść

Suma \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wyraża się wzorem \(S_n=3n^2+4n\). Piąty wyraz tego ciągu jest równy: \[a_5=?\]

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Mamy wzór na sumę \(n\) początkowych wyrazów: \(S_n = 3n^2 + 4n\).

**Krok 1:** Wykorzystamy zależność między sumą a wyrazami ciągu.

Dla \(n \geq 2\) zachodzi:
$$a_n = S_n - S_{n-1}$$

**Krok 2:** Obliczamy \(S_5\) (suma 5 pierwszych wyrazów).

$$S_5 = 3 \cdot 5^2 + 4 \cdot 5 = 3 \cdot 25 + 20 = 75 + 20 = 95$$

**Krok 3:** Obliczamy \(S_4\) (suma 4 pierwszych wyrazów).

$$S_4 = 3 \cdot 4^2 + 4 \cdot 4 = 3 \cdot 16 + 16 = 48 + 16 = 64$$

**Krok 4:** Obliczamy piąty wyraz ciągu.

$$a_5 = S_5 - S_4 = 95 - 64 = 31$$

**Sprawdzenie:** Możemy zweryfikować, że to rzeczywiście ciąg arytmetyczny.
- \(a_1 = S_1 = 3 \cdot 1 + 4 \cdot 1 = 7\)
- \(a_2 = S_2 - S_1 = (12 + 8) - 7 = 13\)
- \(a_3 = S_3 - S_2 = (27 + 12) - 20 = 19\)

Różnica: \(r = 13 - 7 = 6\), więc \(a_5 = 7 + 4 \cdot 6 = 31\) ✓

**Odpowiedź: B**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** B

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2017/zad/20)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2017%2Fzad%2F20)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (7 pkt) Nieskończony ciąg geometryczny ( ) n a jest zdefiniowany wzorem rekurencyjnym: ), 2 ( log ,2 2 1 1 ⋅ k a a a n n dla każdej liczby naturalne
- [Zadanie 20](https://matura.lol/question/matematyka-2004-styczen-probna-rozszerzona/zad/20) — Zadanie 20. (7 pkt) Różnica ciągu arytmetycznego (an) jest liczbą mniejszą od 1. Wyznacz najmniejszą wartość wyrażenia 50 49 1 a a a ⋅ wiedząc, że 1 51 = a
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-6) Trzywyrazowy ciąg ( ) , , a b c o wyrazach dodatnich jest arytmetyczny, natomiast ciąg 1 2 1 , , 3 2 2 a b a b c       jest geometryczny
- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/4) — Zadanie 4. (6 pkt) Liczby a, b, c są - odpowiednio - pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg ( ) 2, , 2 1 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_