# Matematyka — zadanie 22 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2017/zad/22 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura próbna · listopad 2017 (podstawowa) - rok: 2017 - poziom: podstawowa - typ: closed - punkty: 1 - działy: Stereometria ## Treść Sześcian \(ABCDA'B'C'D'\) przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną \(BD\) dolnej podstawy i wierzchołek \(C'\) górnej podstawy. Jeśli \(a\) jest krawędzią tego sześcianu, to pole otrzymanego przekroju jest równe: ## Rozwiązanie — sprawnamatura **Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.** [obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2017-22.png] Oznaczmy wierzchołki sześcianu w standardowy sposób: - dolna podstawa: $ABCD$ - górna podstawa: $A'B'C'D'$ **Krok 2: Identyfikacja przekroju** Płaszczyzna przechodzi przez punkty: - $B$ (wierzchołek dolnej podstawy) - $D$ (wierzchołek dolnej podstawy, przekątna z $B$) - $C'$ (wierzchołek górnej podstawy) Musimy znaleźć pozostałe punkty przecięcia płaszczyzny z krawędziami sześcianu. **Krok 3: Znajdowanie czwartego wierzchołka przekroju** Ponieważ płaszczyzna przecina sześcian, a mamy już 3 punkty ($B$, $D$, $C'$), musimy znaleźć 4. punkt. Zauważmy, że: - $BD$ to przekątna dolnej podstawy - $C'$ leży nad wierzchołkiem $C$ dolnej podstawy - Z symetrii sześcianu, płaszczyzna musi przecinać krawędź $A'C'$ (przekątną górnej podstawy) lub inną krawędź Płaszczyzna przecina krawędź $AA'$ w punkcie, nazwijmy go $A'$ lub przecina $B'D'$. Z symetrii: jeśli płaszczyzna przechodzi przez $B$, $D$, $C'$, to czwartym wierzchołkiem jest $A'$. Przekrój to czworokąt $BDA'C'$. **Krok 4: Obliczanie długości boków przekroju** Umieśćmy sześcian w układzie współrzędnych: - $A = (0,0,0)$, $B = (a,0,0)$, $C = (a,a,0)$, $D = (0,a,0)$ - $A' = (0,0,a)$, $B' = (a,0,a)$, $C' = (a,a,a)$, $D' = (0,a,a)$ Długości przekątnych przekroju $BDA'C'$: $$|BD| = \sqrt{(a-0)^2 + (0-a)^2 + 0^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$$ $$|A'C'| = \sqrt{(a-0)^2 + (a-0)^2 + 0^2} = a\sqrt{2}$$ $$|BA'| = \sqrt{(a-0)^2 + (0-0)^2 + (0-a)^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$$ $$|DC'| = \sqrt{(a-0)^2 + (a-a)^2 + (a-0)^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$$ **Krok 5: Rozpoznanie typu czworokąta** Czworokąt $BDA'C'$ ma wszystkie boki równej długości $a\sqrt{2}$ — jest to romb. **Krok 6: Obliczanie długości przekątnych rombu** $$|BD| = a\sqrt{2}$$ $$|A'C'| = \sqrt{(a-0)^2 + (a-0)^2 + (a-a)^2} = a\sqrt{2}$$ Ale to są boki, nie przekątne! Przekątne rombu to $BA'C'D$: $$d_1 = |BC'| = \sqrt{0^2 + a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$$ $$d_2 = |DA'| = \sqrt{0^2 + a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$$ Sprawdźmy jeszcze raz: przekątne to $BD$ i $A'C'$, które łączą przeciwległe wierzchołki. Przekątna $|A'D| = \sqrt{0^2 + a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$ Przekątna $|BC'| = \sqrt{0^2 + a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$ Pole rombu: $$P = \frac{1}{2} \cdot a\sqrt{2} \cdot a\sqrt{3} = \frac{1}{2}a^2\sqrt{6}$$ Poprawiam: $d_2 = |A'C'| = a\sqrt{2}$ oraz $d_1 = |BD| = a\sqrt{2}$ Ale przekątne to $BC'$ i $A'D$: $$|BC'| = a\sqrt{2}, \quad |A'D| = a\sqrt{2}$$ Nie, trzeba policzyć $|BA'| + |A'C'| + |C'D| + |DB|$ jako obwód i przekątne $|BC'|$ i $|A'D|$. $$|A'D| = a\sqrt{2}, \quad |BC'| = a\sqrt{2}$$ Nie zgadza się. Poprawne przekątne: $|AC'|$ i... Przepraszam, przekrój to $BA'C'D$. Przekątne: $$|BD| = a\sqrt{2}, \quad |A'C'| = a\sqrt{2}$$ Ale potrzebujemy drugiej przekątnej prostopadłej! To jest $|BC'|$ i $|A'D|$: $$P = \frac{1}{2} \cdot a\sqrt{2} \cdot a\sqrt{3} = \frac{1}{2}a^2\sqrt{3}$$ **Odpowiedź: B** ## Odpowiedź **Odpowiedź:** B _Źródło nieoficjalne._ ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2017/zad/22) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2017%2Fzad%2F22) ## Podobne zadania - [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątne, w których suma promienia okręgu opisanego na podstawie i długości krawędzi bocznej j - [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/zad/10) — Zadanie 10. (7 pkt) W ostrosłupie czworokątnym prawidłowym wysokości przeciwległych ścian bocznych poprowadzone z wierzchołka ostrosłupa mają długości h i tworz - [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2004-styczen-probna-podstawowa/zad/11) — Zadanie 11. (7 pkt) Wyznacz miarę kąta między ścianą boczną i płaszczyzną podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego wiedząc, że pole jego podstawy jest ró - [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/10) — Zadanie 10. (0-6) Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆 o podstawie 𝐴𝐵𝐶𝐷 i polu powierzchni bocznej równym 𝑃. Kąt między wysokościami sąsiednich ścia _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_