# Matematyka — zadanie 26

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2017/zad/26
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · listopad 2017 (podstawowa)
- rok: 2017
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Liczby rzeczywiste

## Treść

Wykaż, że jeśli liczba rzeczywista \(a\) spełnia warunek \(a\lt 1\), to \(\frac{1}{1-a}\ge 4a\).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Musimy wykazać, że dla \(a  0\), więc wyrażenie \(\frac{1}{1-a}\) jest dobrze określone.

**Krok 2: Przekształcenie nierówności**

Nierówność \(\frac{1}{1-a} \ge 4a\) przekształcamy do postaci wygodnej do analizy.

$$\frac{1}{1-a} - 4a \ge 0$$

Sprowadzamy do wspólnego mianownika:

$$\frac{1 - 4a(1-a)}{1-a} \ge 0$$

$$\frac{1 - 4a + 4a^2}{1-a} \ge 0$$

$$\frac{4a^2 - 4a + 1}{1-a} \ge 0$$

**Krok 3: Analiza licznika**

Zauważmy, że licznik to:

$$4a^2 - 4a + 1 = (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 1 + 1^2 = (2a - 1)^2$$

Zatem:

$$\frac{(2a-1)^2}{1-a} \ge 0$$

**Krok 4: Analiza znaku ułamka**

- **Licznik:** \((2a-1)^2 \ge 0\) dla każdego \(a \in \mathbb{R}\) (kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny)

- **Mianownik:** \(1 - a > 0\) dla \(a  0\)

to iloraz \(\frac{(2a-1)^2}{1-a} \ge 0\).

Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy \((2a-1)^2 = 0\), czyli \(a = \frac{1}{2}\).

**Podsumowanie:**

Dla \(a < 1\) nierówność \(\frac{1}{1-a} \ge 4a\) jest spełniona, co należało wykazać.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2017/zad/26)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2017%2Fzad%2F26)

## Podobne zadania

- [Zadanie 17](https://matura.lol/question/matematyka-2005-maj-matura-rozszerzona/zad/17) — Zadanie 17. (7 pkt) Wykaż, bez użycia kalkulatora i tablic, że 3 3 7 2 5 7 2 5 jest liczbą całkowitą. 10 Arkusz II Wykaż, bez użycia kalkulatora i tablic, że na
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2006-listopad-probna-podstawowa/zad/10) — Zadanie 10. (6 pkt) Dane są zbiory: { } : 5 3 A x R x ∈ ≥ , { } 2 : 9 0 B x R x ∈ ≥ i 1 : 1 1 x C x R x ⎧ ⎫ ∈ ≤ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ a) Zaznacz na osi liczbowej zbiory B A, 
- [Zadanie 34](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-luty-2014/zad/34) — Wykwalifikowany robotnik pracując sam, wykonałby pracę w czasie krótszym o \(10\) dni od pracownika niewykwalifikowanego. Aby pracę wykonać szybciej, powierzono
- [Zadanie 33](https://matura.lol/question/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad/33) — Zadanie 33. (5 pkt) Grupa znajomych wykupiła wspólnie dostęp do Internetu na okres jednego roku. Opłata miesięczna wynosiła 120 złotych. Podzielono tę kwotę na 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_