# Matematyka — zadanie 28

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2017/zad/28
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · listopad 2017 (podstawowa)
- rok: 2017
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Ciągi

## Treść

Wykaż, że jeśli liczby \((3^a,3^b,3^c)\) tworzą ciąg geometryczny, to liczby \((a,b,c)\) tworzą ciąg arytmetyczny.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

## Założenie

Liczby \(3^a, 3^b, 3^c\) tworzą ciąg geometryczny.

## Warunek ciągu geometrycznego

Trzy liczby tworzą ciąg geometryczny wtedy i tylko wtedy, gdy kwadrat środkowego wyrazu jest równy iloczynowi wyrazów skrajnych:

$$(3^b)^2 = 3^a \cdot 3^c$$

## Przekształcenie równania

Lewą stronę przekształcamy, stosując właścność potęg \((x^m)^n = x^{m \cdot n}\):

$$3^{2b} = 3^a \cdot 3^c$$

Prawą stronę przekształcamy, stosując właścność potęg \(x^m \cdot x^n = x^{m+n}\):

$$3^{2b} = 3^{a+c}$$

## Porównanie wykładników

Ponieważ funkcja wykładnicza o podstawie 3 jest różnowartościowa (jest rosnąca), równość potęg o tej samej podstawie zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy równe są wykładniki:

$$2b = a + c$$

## Warunek ciągu arytmetycznego

Przekształcamy otrzymane równanie:

$$2b = a + c$$

$$b - a = c - b$$

To jest właśnie warunek na ciąg arytmetyczny: różnica między drugim a pierwszym wyrazem jest równa różnicy między trzecim a drugim wyrazem. Równoważnie możemy zapisać:

$$a + c = 2b$$

co oznacza, że środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną wyrazów skrajnych.

## Wniosek

Udowodniliśmy, że jeśli liczby \(3^a, 3^b, 3^c\) tworzą ciąg geometryczny, to liczby \(a, b, c\) tworzą ciąg arytmetyczny.

$$\boxed{\text{c.b.d.u.}}$$

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2017/zad/28)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2017%2Fzad%2F28)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (7 pkt) Nieskończony ciąg geometryczny ( ) n a jest zdefiniowany wzorem rekurencyjnym: ), 2 ( log ,2 2 1 1 ⋅ k a a a n n dla każdej liczby naturalne
- [Zadanie 20](https://matura.lol/question/matematyka-2004-styczen-probna-rozszerzona/zad/20) — Zadanie 20. (7 pkt) Różnica ciągu arytmetycznego (an) jest liczbą mniejszą od 1. Wyznacz najmniejszą wartość wyrażenia 50 49 1 a a a ⋅ wiedząc, że 1 51 = a
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-6) Trzywyrazowy ciąg ( ) , , a b c o wyrazach dodatnich jest arytmetyczny, natomiast ciąg 1 2 1 , , 3 2 2 a b a b c       jest geometryczny
- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/4) — Zadanie 4. (6 pkt) Liczby a, b, c są - odpowiednio - pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg ( ) 2, , 2 1 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_