# Matematyka — zadanie 30

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2017/zad/30
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · listopad 2017 (podstawowa)
- rok: 2017
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 4
- działy: Planimetria

## Treść

Wyznacz długość boku kwadratu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku \(a\) w ten sposób, że jeden bok kwadratu jest zawarty w boku trójkąta, a dwa wierzchołki kwadratu należą do pozostałych boków trójkąta.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2017-30.png]

Oznaczmy długość boku kwadratu przez \(x\).

## Układ współrzędnych

Umieśćmy trójkąt równoboczny w układzie współrzędnych tak, że:
- podstawa leży na osi \(Ox\), od punktu \((0, 0)\) do \((a, 0)\)
- trzeci wierzchołek ma współrzędne \(\left(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}\right)\)

Wysokość trójkąta równobocznego wynosi \(h = \frac{a\sqrt{3}}{2}\).

## Pozycja kwadratu

Kwadrat ma:
- jeden bok na podstawie trójkąta (na osi \(Ox\))
- bok długości \(x\)
- wysokość \(x\)

Ze względu na symetrię, kwadrat jest wyśrodkowany. Jego dolne wierzchołki to:
$$\left(\frac{a-x}{2}, 0\right) \quad \text{i} \quad \left(\frac{a+x}{2}, 0\right)$$

Górne wierzchołki kwadratu to:
$$\left(\frac{a-x}{2}, x\right) \quad \text{i} \quad \left(\frac{a+x}{2}, x\right)$$

## Równanie boku trójkąta

Lewy bok trójkąta łączy punkty \((0, 0)\) i \(\left(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}\right)\).

Równanie tej prostej:
$$\frac{y-0}{x-0} = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{2} - 0}{\frac{a}{2} - 0} = \sqrt{3}$$

Zatem: \(y = \sqrt{3}x\)

## Warunek przynależności wierzchołka

Lewy górny wierzchołek kwadratu \(\left(\frac{a-x}{2}, x\right)\) musi leżeć na lewym boku trójkąta.

Podstawiamy do równania prostej:
$$x = \sqrt{3} \cdot \frac{a-x}{2}$$

$$x = \frac{\sqrt{3}(a-x)}{2}$$

$$2x = \sqrt{3}a - \sqrt{3}x$$

$$2x + \sqrt{3}x = \sqrt{3}a$$

$$x(2 + \sqrt{3}) = \sqrt{3}a$$

$$x = \frac{\sqrt{3}a}{2 + \sqrt{3}}$$

## Racjonalizacja mianownika

Mnożymy licznik i mianownik przez \(2 - \sqrt{3}\):

$$x = \frac{\sqrt{3}a(2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{3}a(2 - \sqrt{3})}{4 - 3} = \sqrt{3}a(2 - \sqrt{3})$$

$$x = 2\sqrt{3}a - \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot a = 2\sqrt{3}a - 3a$$

$$x = a(2\sqrt{3} - 3)$$

## Odpowiedź

Długość boku kwadratu wynosi \(\boxed{a(2\sqrt{3} - 3)}\).

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(a(2\sqrt{3}-3)\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2017/zad/30)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2017%2Fzad%2F30)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (10 pkt) W trójkącie jeden z kątów ma miarę ° 120 . Długości boków tego trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, którego suma wynosi 30.
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-podstawowa/zad/10) — W trapezie opisanym na okręgu kąty przy dłuższej podstawie mają miary \(60^{\circ}\) i \(30^{\circ}\), a długość wysokości tego trapezu jest równa 6. Sporządź o
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/18) — Zadanie 18. (8 pkt) Oblicz miary kątów dowolnego czworokąta wpisanego w okrąg o promieniu 2 5 R , wiedząc ponadto, że jedna z przekątnych tego czworokąta ma dłu
- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w których każda z przekątnych ma długość 10. Niech 𝑥 oznacza długość odcinka łączącego środki ra

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_