# Matematyka — zadanie 31

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2017/zad/31
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · listopad 2017 (podstawowa)
- rok: 2017
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 5
- działy: Geometria analityczna

## Treść

Dane są punkty \(A=(4,2)\) i \(B=(1,-3)\). Wyznacz współrzędne punktu \(C\) należącego do osi \(OY\), tak aby \(|\sphericalangle ACB|=90^\circ \).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Szukamy punktu \(C\) na osi \(OY\), więc \(C = (0, y)\) dla pewnego \(y \in \mathbb{R}\).

Warunek \(|\angle ACB| = 90°\) oznacza, że wektory \(\vec{CA}\) i \(\vec{CB}\) są prostopadłe.

## Krok 1: Wyznaczenie wektorów

$$\vec{CA} = A - C = (4, 2) - (0, y) = (4, 2-y)$$

$$\vec{CB} = B - C = (1, -3) - (0, y) = (1, -3-y)$$

## Krok 2: Warunek prostopadłości

Wektory są prostopadłe, gdy ich iloczyn skalarny równa się zero:

$$\vec{CA} \cdot \vec{CB} = 0$$

$$4 \cdot 1 + (2-y) \cdot (-3-y) = 0$$

## Krok 3: Rozwiązanie równania

$$4 + (2-y)(-3-y) = 0$$

Rozwijamy nawias:

$$4 + (2)(-3) + (2)(-y) + (-y)(-3) + (-y)(-y) = 0$$

$$4 - 6 - 2y + 3y + y^2 = 0$$

$$y^2 + y - 2 = 0$$

## Krok 4: Rozwiązanie równania kwadratowego

Szukamy rozkładu: \(y^2 + y - 2 = (y+2)(y-1) = 0\)

Stąd:
$$y = -2 \quad \text{lub} \quad y = 1$$

## Krok 5: Odpowiedź

Punkt \(C\) ma współrzędne:

$$C = (0, -2) \quad \text{lub} \quad C = (0, 1)$$

**Weryfikacja** dla \(C = (0, -2)\):
- \(\vec{CA} = (4, 4)\), \(\vec{CB} = (1, -1)\)
- \(\vec{CA} \cdot \vec{CB} = 4 \cdot 1 + 4 \cdot (-1) = 4 - 4 = 0\) ✓

**Weryfikacja** dla \(C = (0, 1)\):
- \(\vec{CA} = (4, 1)\), \(\vec{CB} = (1, -4)\)
- \(\vec{CA} \cdot \vec{CB} = 4 \cdot 1 + 1 \cdot (-4) = 4 - 4 = 0\) ✓

**Odpowiedź:** \(C = (0, -2)\) lub \(C = (0, 1)\)

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(C=(0,-2)\) lub \(C=(0,1)\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2017/zad/31)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2017%2Fzad%2F31)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Okrąg 𝑜1 o środku w punkcie 𝑆1 jest określony równaniem (𝑥-6)2 + (𝑦+ 1)2 = 16. Okrąg 𝑜2 ma środek w punkcie 𝑆2 takim, że 𝑆1𝑆2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [-4, 4
- [Zadanie 13](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-rozszerzona-czerwiec-2026/zad/13) — W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne \(ABC\), w których \(C = (0, 0)\), wierzchołek \(B\) leży na dodatnie
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest równoległobok 𝐴𝐵𝐶𝐷 o wierzchołkach 𝐴= (-8, -1) i 𝐷= (-13, 9) oraz środku symetrii 𝑀= (
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) prosta o równaniu 3𝑥+ 𝑦+ 2 = 0 przecina parabolę o równaniu 𝑦= 𝑥2 -2𝑥-8 w punktach 𝐴 oraz 𝐵, któ

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_