# Matematyka — zadanie 5

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2017/zad/5
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · listopad 2017 (podstawowa)
- rok: 2017
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Ciągi

## Treść

Dany jest ciąg \((a_n)\) o wyrazie ogólnym \(a_n=\frac{2n+1}{n+3}\). Liczby \(a_3,a_5\) są wyrazami tego ciągu, a liczby \((a_3,x,a_5)\) tworzą ciąg arytmetyczny. Liczba \(x\) jest równa:

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Oblicza się wyrazy \(a_3\) i \(a_5\) ciągu o wzorze ogólnym \(a_n=\frac{2n+1}{n+3}\).

**Krok 1: Wyznaczenie \(a_3\)**

$$a_3 = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3 + 3} = \frac{6 + 1}{6} = \frac{7}{6}$$

**Krok 2: Wyznaczenie \(a_5\)**

$$a_5 = \frac{2 \cdot 5 + 1}{5 + 3} = \frac{10 + 1}{8} = \frac{11}{8}$$

**Krok 3: Warunek ciągu arytmetycznego**

Jeśli liczby \(a_3, x, a_5\) tworzą ciąg arytmetyczny, to różnica między kolejnymi wyrazami musi być stała:

$$x - a_3 = a_5 - x$$

**Krok 4: Rozwiązanie równania**

$$x - a_3 = a_5 - x$$

$$2x = a_3 + a_5$$

$$x = \frac{a_3 + a_5}{2}$$

Podstawia się wartości:

$$x = \frac{\frac{7}{6} + \frac{11}{8}}{2}$$

**Krok 5: Dodawanie ułamków**

Sprowadza się do wspólnego mianownika (NWW(6,8) = 24):

$$\frac{7}{6} = \frac{7 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{28}{24}$$

$$\frac{11}{8} = \frac{11 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{33}{24}$$

$$\frac{7}{6} + \frac{11}{8} = \frac{28}{24} + \frac{33}{24} = \frac{61}{24}$$

**Krok 6: Obliczenie \(x\)**

$$x = \frac{\frac{61}{24}}{2} = \frac{61}{24} \cdot \frac{1}{2} = \frac{61}{48}$$

**Odpowiedź: A**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** A

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2017/zad/5)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2017%2Fzad%2F5)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (7 pkt) Nieskończony ciąg geometryczny ( ) n a jest zdefiniowany wzorem rekurencyjnym: ), 2 ( log ,2 2 1 1 ⋅ k a a a n n dla każdej liczby naturalne
- [Zadanie 20](https://matura.lol/question/matematyka-2004-styczen-probna-rozszerzona/zad/20) — Zadanie 20. (7 pkt) Różnica ciągu arytmetycznego (an) jest liczbą mniejszą od 1. Wyznacz najmniejszą wartość wyrażenia 50 49 1 a a a ⋅ wiedząc, że 1 51 = a
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-6) Trzywyrazowy ciąg ( ) , , a b c o wyrazach dodatnich jest arytmetyczny, natomiast ciąg 1 2 1 , , 3 2 2 a b a b c       jest geometryczny
- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/4) — Zadanie 4. (6 pkt) Liczby a, b, c są - odpowiednio - pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg ( ) 2, , 2 1 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_